hitta rötter/Polynom

Hin1973 skrev:

Hej

Jag har verkligen svårt att hitta rötterna till denna ekvation! tacksam för all hjälp.

 

Polynomet f(x)=x⁴−2x³+5x²−18x−36  har en rent imaginär rot. Hitta alla rötter (reella såsom komplexa) till  f(x).

 

Tack på förhand.

Det brukar vara ganska lätt att gissa en rot, och därmed 2 eftersom dom uppträder i konjugatpar.

I det här fallet är det extra lätt eftersom vi vet att en rot är rent imaginär,

Fokusera alltså på de termer som blir imaginära när du gissar  en rent komplex rot.

En rent imaginär rot är $x=ai, a\in \mathrm{ℝ}$ vilket även ger oss roten $x=-ai$, då de förekommer i konjugatpar.

$$\begin{gathered} i = i \\ {i}^2=-1 \\ {i}^3=-i \\ {i}^4=1 \\ Eftersom x =\hspace{0.17em}ai är ett nollställe så bör följande gälla: \\ {\left(ai\right)}^4-2{\left(ai\right)}^3+5{\left(ai\right)}^2-18\left(ai\right)-36=0 \\ {a}^4+2a^{3}i-5a^2-18ai-36=0 \\ Realdelen och imaginärdelen ska vara noll samtidigt \\ \left\{\begin{array}{l}{a}^4-5a^2-36=0 \\ 2a^3-18a=0\end{array}\right.\iff \\ \left\{\begin{array}{l}{a}^4-5a^2-36=0 \\ a(2a^2-18)=0\end{array}\right. \\ Andra ekvationen har lösningarna a = 0, a = \pm 3 (dessa uppfylles av ekvation 1 också) \\ Test av lösningarna visar att x = 3i (a\hspace{0.17em}= 3 ) är en lösning och av det följer att x =\hspace{0.17em}-3i (a= -3) är en lösning \\ (x+3i)(x-3i)=x^2+9 \\ Polynomdivision med f\left(x\right) ger oss x^2-2x-4, lös med pq och ger oss rötterna x=1\pm \sqrt{5} \\ Alltså x\hspace{0.17em}=3i, x =\hspace{0.17em}-3i, x = 1\pm \sqrt{5} \end{gathered}$$

Men som Ture säger är det väldigt smidigt ibland att gissa rötter. Det kan låta lite skumt att gissa saker, och inte lösa det helt "matematiskt". Men många liknande uppgifter, med eller utan imaginära rötter löses enklast genom att först gissa 1 (eller fler) rötter och sen polynomdividera för att sänka graden på polynomet.

tack till alla

för att gissa en rent imaginär rot i denna uppgift, koncentrera dig på x^3 och x^1 termerna, de är de enda som blir komplexa.

då kan vi inse att 2*x*x*x*=3*3*2*x  (eftersom i*i*i = -i och 18 = 3*3*2)

efter förenkling ser vi att xx= 3*3, alltså är våra rötter +-3i