Hitta rekursionsformel

Ett sätt att få syn på samband mellan talen är att ställa upp dem glest
och sedan skriva upp differensen mellan konsekutiva tal  i mellanrummen,
men en rad längre ner   etc

                       1          3         5         11         21

differens             2          2        6        10               förstadifferensen  (jfr förstaderivata)

diff igen                    0         4        4                     andradifferensen  (jfr andraderivata)

Kan det ge något uppslag?

Arktos skrev:

Ett sätt att få syn på samband mellan talen är att ställa upp dem glest
och sedan skriva upp differensen mellan konsekutiva tal  i mellanrummen,
men en rad längre ner   etc

                       1          3         5         11         21

differens             2          2        6        10               förstadifferensen  (jfr förstaderivata)

diff igen                    0         4        4                     andradifferensen  (jfr andraderivata)

 

Kan det ge något uppslag?

Detta hjälpte inte, för att jag har upptäkt att ökningen mellan talen är helt ojämn men hittar fortfarande inte nån formeln som kan beskriva det Nte talet. 

"som innehåller an, an+1 och an+2"

På något sätt hänger alltså 1, 3 och 5 ihop.

På SAMMA sätt hänger 3, 5 och 11 ihop, och på samma sätt hänger 5, 11 och 21 ihop.

Snyggt!

De första talen är startvillkor

Kommer vi till     3    5    11     ser vi att andradifferensen är   4
Samma sak gäller     5    11    21   , även där är andradifferensen  4

Hur skulle talföljden fortsätta om andradifferensen  är konstant lika med  4  ?
Då blir förstadifferensen  linjärt växande,  med  4   i varje steg
Hur växer då talföljden?    
Vad blir då de närmast följande  talen ?

Bubo skrev:

"som innehåller an, an+1 och an+2"

På något sätt hänger alltså 1, 3 och 5 ihop.

På SAMMA sätt hänger 3, 5 och 11 ihop, och på samma sätt hänger 5, 11 och 21 ihop.

Menar du att jag ska hitta en rekursionsformel för varje 3 tal? 
typ 1,3?5 

an+1=an+2 där a1=1 

n:1ger a2=1+2

n2 ger a3=3+2

men blir ju inte riktigt samman hängande för dem andra element 

1, 3, 5, 11, 21, …

Ger att a₁=1, a₂=3, a₃=5, osv.

Tänk dig att det i enklaste fallet gäller att 

a_n+2=a_n+a_n+1

Det ger isåfall att till exempel

a₃=a₁+a₂=1+3=4

Men det stämmer ju inte, för a₃=5, ju. Vi får därför göra om formeln så att sambandet faktiskt gäller. Det allmänna sambandet måste också gälla för alla n, dvs att formeln ska se likadan ut oavsett om vi ska beräkna exempelvis a₄ eller a₂₃.

feber01 skrev:

1, 3, 5, 11, 21, …

Ger att a₁=1, a₂=3, a₃=5, osv.

Tänk dig att det i enklaste fallet gäller att 

a_n+2=a_n+a_n+1

Det ger isåfall att till exempel

a₃=a₁+a₂=1+3=4

Men det stämmer ju inte, för a₃=5, ju. Vi får därför göra om formeln så att sambandet faktiskt gäller. Det allmänna sambandet måste också gälla för alla n, dvs att formeln ska se likadan ut oavsett om vi ska beräkna exempelvis a₄ eller a₂₃.

Men det vet jag om inga konstigheter. 

feber01 skrev:

1, 3, 5, 11, 21, …

Ger att a₁=1, a₂=3, a₃=5, osv.

Tänk dig att det i enklaste fallet gäller att 

a_n+2=a_n+a_n+1

Det ger isåfall att till exempel

a₃=a₁+a₂=1+3=4

Men det stämmer ju inte, för a₃=5, ju. Vi får därför göra om formeln så att sambandet faktiskt gäller. Det allmänna sambandet måste också gälla för alla n, dvs att formeln ska se likadan ut oavsett om vi ska beräkna exempelvis a₄ eller a₂₃.

Fin öppning!
Låt oss komplicera formeln en smula.

Låt  a_n+2  vara en godtycklig linjär kombination av  a_n+1  och  a_n  ,
dvs så att   a_n+2 = x*a_n+1 + y*a_n  .

Finns det tal   x  och  y   så att detta samband gäller för alla de taltripplar vi har,
dvs både för  [ 1, 3, 5 ]  och  [ 3, 5, 11 ]  och  [ 5, 11, 21 ]  ?

Arktos skrev:

feber01 skrev:

1, 3, 5, 11, 21, …

Ger att a₁=1, a₂=3, a₃=5, osv.

Tänk dig att det i enklaste fallet gäller att 

a_n+2=a_n+a_n+1

Det ger isåfall att till exempel

a₃=a₁+a₂=1+3=4

Men det stämmer ju inte, för a₃=5, ju. Vi får därför göra om formeln så att sambandet faktiskt gäller. Det allmänna sambandet måste också gälla för alla n, dvs att formeln ska se likadan ut oavsett om vi ska beräkna exempelvis a₄ eller a₂₃.

Fin öppning!
Låt oss komplicera formeln en smula.

Låt  a_n+2  vara en godtycklig linjär kombination av  a_n+1  och  a_n  ,
dvs så att   a_n+2 = x*a_n+1 + y*a_n  .

Finns det tal   x  och  y   så att detta samband gäller för alla de taltripplar vi har,
dvs både för  [ 1, 3, 5 ]  och  [ 3, 5, 11 ]  och  [ 5, 11, 21 ]  ?

nej hittar inte det x och y. blev inte som hjälpte tyvärr. jag få strunta över denna uppgiften tack 

Jag lyckades hitta lösningen.

Den står ej i spoilern, men den kan säkert utrönas med hjälp därifrån

Bedinsis skrev:

Jag lyckades hitta lösningen.

Den står ej i spoilern, men den kan säkert utrönas med hjälp därifrån

Visa spoiler

Ett tal i följden kan fås fram genom att ta talet före i följden gånger ett tal och till detta lägga talet ytterligare ett steg före i följden gånger ett annat tal.

a_n= x*a_n-1 + y*a_n-2

Givet att vi vet detta kan vi stoppa in att n= 3, 4 och 5 för att få några samband mellan x & y:

5= x*3+y*1

11= x*5+y*3

21= x*11+y*5

Ur första ekvationen kan man enkelt få ett uttryck för y. Kommer du vidare här i från?

Jag har kommit till denna här formeln men problmet om du ska räkna a2blir det a2=a1+2*a0 vad är a0 här 1 ? det vet vi inte ju 

Om rekursionsformeln säger att ett tal i mängden är beroende av de två föregående talen så får vi räkna med att de två första talen i mängden inte kan räknas ut med rekursionsformeln, utan att detta är två tal som de bara hittat på, för att ha någonting att börja med.

Bedinsis skrev:

Om rekursionsformeln säger att ett tal i mängden är beroende av de två föregående talen så får vi räkna med att de två första talen i mängden inte kan räknas ut med rekursionsformeln, utan att detta är två tal som de bara hittat på, för att ha någonting att börja med.

Jaha så jag har egentligen tänk helt fel på att försöka hitta a0. mmm tack då kör jag på det som det är tackså mycket för hjälpen 

Det är aldrig fel att försöka, men om vi nu är överens om att  1  och  3  är startvärden,
så kan vi pröva att använda formeln i #10 för att ställa upp ett uttryck för a₃ ,
det tredje talet, som vi vet är 5.

Och rentav samtidigt  använda formeln för att ställa upp ett uttryck för a₄  ,
det fjärde talet, som vi vet är 11 .

Då får vi ett ekvationssystem att lösa (och behöver inte sitta och gissa).

Vad kan det ge?