Hitta reella lösningar till ett funktion f(x) (Matematik/Matte 4)

Den här går att lösa på flera olika sätt.

Visa hur långt du har kommit.

Ja har plottat grafen på desmos och den har bara två skärningspunkterna på x-axeln.

OK, hur skulle du göra om du inte fick använda digitala hjälpmedel?

Till att börja med, förstår du vad symbolerna | i vänsterledet betyder?

Ja, dem betyder absolutvärde.

Ja det stämmer.

Du kan lösa uppgiften grafiskt eller algebraiskt.

Grafiskt: Rita graferna till | -x+5 | och | x+2 | i samma koordinatsystem och försök att hitta de punkter där grafernas sammanlagda höjd ovan x-axeln är 7.

Algebraiskt: Dela upp problemet i olika intervall, där intervallens ändpunkter baseras på de x-värden där uttrycken innanför absolutbeloppen byter tecken. Skriv om ekvationen utan absolutbelopptecken i respektive intervall och lös dessa ekvationer var för sig. Kontrollera att lösningarna hamnar inom respektive aktuella intervall.

Fråga om något är oklart och visa dina försök.

Ja skrivt fel här.

Marcus N skrev:
Ja förstår inte vad du menar i både algebraiskt och grafiskt lösning kan du undervisa dem där i pappersform?

Marcus N skrev:

Ja förstår inte vad du menar i både algebraiskt och grafiskt lösning kan du undervisa dem där i pappersform?

Var det något som var otydligt med Yngves förklaring? Försök och visa hur långt du kommer!

Yngve skrev:
Ja det stämmer.

Du kan lösa uppgiften grafiskt eller algebraiskt.

Grafiskt: Rita graferna till | -x+5 | och | x+2 | i samma koordinatsystem och försök att hitta de punkter där grafernas sammanlagda höjd ovan x-axeln är 7.

Algebraiskt: Dela upp problemet i olika intervall, där intervallens ändpunkter baseras på de x-värden där uttrycken innanför absolutbeloppen byter tecken. Skriv om ekvationen utan absolutbelopptecken i respektive intervall och lös dessa ekvationer var för sig. Kontrollera att lösningarna hamnar inom respektive aktuella intervall.

Fråga om något är oklart och visa dina försök.

Marcus N skrev:
Marcus N skrev:
Ja förstår inte vad du menar i både algebraiskt och grafiskt lösning kan du undervisa dem där i pappersform?

Känner du till följande?

Absolutbeloppet av $a$ , dvs $|a|$ , definieras på följande sätt:

$|a|=a$ då $a\geq0$
$|a|=-a$ då $a<0$

===============

Tips på hur du lan använda det: Det betyder att $|x+2|=x+2$ då $x+2\geq0$ (dvs då $x\geq -2$ ) och att $|x+2|=-(x+2)$ då $x+2<0$ (dvs då $x<-2$ .

Gör på samma sätt för $|-x+5|$ .

Okej, så om (-x+5)>=0, då blir -x>=-5 alltså 5>=x.

När (-x+5)<=0, -x<=-5, alltså 5<=x.

(">=" är större eller lika med, <= är mindre eller lika med)

Gör så här för att rita funktionen y = |x+2|: Rita linjen y = x+2. Rita linjen y = -x-2. Ser du att de korsar varandra i punkten (-2,0)? Sudda ut det som är nedanför x-axeln. Rita linjen y = |-x+5| på samma sätt. Undersök var de båda funktionerna korsar varandra.

Ja hittat skärningspunkterna (2,0) för linjerna x+2 och -(x-2). Skärningspkt. (5,0) för linjerna -x+5 och -(-x+5).

Är de reella lösningar till funktion f(x)?

Vad händer om HL som lika med 7.

Kan det här vara rätt svar, vi ritar y=7 och ser det skär linjerna fyra gånger, så f(x) har fyra reella lösningar.

Fyra är tyvärr fel.

What !!!!!!!!!!!!!!

Jag hade scrollat ner så mycket att jag inte såg själva frågan, och jag kom ihåg den fel - du skulle inte lösa ekvationen |x+2| = |-x+5| som jag hade för mig utan |x+2| + |-x+5| = 7.

Den blå linjen är fel. Ser du vad det är som är fel med den?

Om x < -2 så är VL = |x+2| + |-x+5| = -(x+2)+(-x+5) = -2x+3. Rita den linjen. Var korsar den linjen y = 7?

Gör likadant för de båda andra intervallen.

Dina grafer stämmer inte riktigt.

Så här ska de se ut.

Fortsätt nu med tipset jag gav i detta svar, dvs ta reda på det/de x-värden för vilka grafernas sammanlagda höjd ovan x-axeln är 7.

Vad kommer -2x+3 ifrån?

Och uppgiften ligger allra längst upp, @Smaragdalena

Och Yngve, ja förstår inte vad du menar med: "ta reda på det/de x-värden för vilka grafernas sammanlagda höjd ovan x-axeln är 7"

Fattar inte vad du menar här, tyvärr.

Marcus N skrev:
Vad kommer -2x+3 ifrån?

Det förklarade jag ju:

Om x < -2 så är VL = |x+2| + |-x+5| = -(x+2)+(-x+5) = -2x+3.

Marcus, om ingen har skrivit ett inlägg efter att du postat så kan du redigera dina inlägg genom att klicka på "Redigera". Detta eftersom det inte är tillåtet att spamma en tråd med inlägg. Det blir också väldigt rörigt om du har många små inlägg som du har ovan och gör tråden mer svårläslig. /Moderator

Varför blir fkn -(x+2)+(-x+5) när x<-2 ?

Är du med på att om x < -2 så är |x+2| = -(x+2) och |-x+5| = -x+5?

Nej

$|x| = \{\begin{cases} x, o m x \geq 0 \\ - x, o m x < 0 \end{cases}$

På samma sätt blir det:

$|x + 2| = \{\begin{cases} x + 2, o m x \geq - 2 \\ - (x + 2) o m x < - 2 \end{cases} |- x + 5| = \{\begin{cases} - (- x + 5), o m x \geq 5 \\ - x + 5 o m x < 5 \end{cases}$

Ja, nu hänger ja med. Så när x<-2(alltså sit. x<=0) då blir abs(x+2) = -(x+2).

Men varför blir abs(-x+5) = -(-x+5) när x>=5?

(abs är absolutbelopp)

För att när $x \geq 5$ så kommer $- x + 5 \leq 0$

Men absolutbelopp har bara positiva tal (inkl. 0) i sin värdemängd, så därför blir det -(x+5) för att få ett positivt tal

Ex.

Tänk dig att x = 8 ( $8 > 5$ )

-8 + 5 = -3

Men -(-3) = 3

Vad är nästa steg av lösning?

Marcus N skrev:
Och Yngve, ja förstår inte vad du menar med: "ta reda på det/de x-värden för vilka grafernas sammanlagda höjd ovan x-axeln är 7"

Fattar inte vad du menar här, tyvärr.

Den blåa grafens höjd motsvarar värdet av |-x+5|.

Den röda grafens höjd motsvarar rdet av |x+2|.

Summan av den blåa och den röda grafens höjd motsvarar alltså värdet av |-x+5| + |x+2|.

Din uppgift är att ta reda på när denna höjd är lika med 7.

Här är ett tips på hur man kan lösa denna grafiskt.

Om man skriver om ekvationen som $|x + 2 |= 7 -| - x + 5|$ och ritar in vänsterled (rött) och högerled (blått) i ett x-y-diagram så ser man direkt vad lösningen blir.

Betyder den här lika eller inte lika?

@ Paten. Uppgiften handlar fråga om hur många reella lösningar har ekv. Hur kan ja identifierar hur många reella lösningar det finns från den grafen som du har ritat? Kan du förklarar? Eller kan någon som förstår förklarar för mig.

Hur många x-värden uppfyller ekvationen?

Marcus N skrev:
@ Paten. Uppgiften handlar fråga om hur många reella lösningar har ekv. Hur kan ja identifierar hur många reella lösningar det finns från den grafen som du har ritat? Kan du förklarar? Eller kan någon som förstår förklarar för mig.

Alla x-värden där den röda kurvan och den blå kurvan är lika (dvs har samma y-värden) är lösningar till ekvationen. I detta fall är den röda kurvan och den blå kurvan lika i för alla x i intervallet [-2, 5], kurvorna överlappar ju i detta intervall. Så hur många reella lösningar finns det?

Att alla x mellan [-2,5] innebär ekv. har 8 reella lösningar. Tänkt ja rätt?

Är 2.5 ett reellt tal?

@ beerger. Vad menar du om 2.5 är ett reellt tal ?

Kanske ska använda "," istället.

Är 2,5 ett reellt tal? Eller funderade du kring något annat?

Marcus N skrev:
Att alla x mellan [-2,5] innebär ekv. har 8 reella lösningar. Tänkt ja rätt?

Du tänker nog på heltalslösningar - och ja, det finns 8 heltalslösningar. Men nu var det frågan om antalet reella lösningar, inte bara heltalslösningar. Är tex något av talen $\sqrt{2}$ , $π$ eller e lösningar till ekvationen?

Okej, så alla reella tal mellan -2 och 5 kan räknas som reella lösningar till ekvationen?

Så kan man säga att ekvationen kan ha oändligt många lösningar?

Marcus N skrev:
Så kan man säga att ekvationen kan ha oändligt många lösningar?

👍

Så ekv. abs(-x+5)+abs(x+2)=7 kan ha oändligt många reella lösningar.

Det stämmer bra!

Kan man säga så här att i framtiden när lösning blir intervall, så säger man att ekvationen har oändligt många reella lösningar.

Bara när det gäller reella lösningar. De reella talen är en överuppräknelig mängd, alltså större (till antalet) än de naturliga talen. Även en delmängd av denna mängd är överuppräknelig. Det finns med andra ord oändligt många tal mellan -2 och 5 om vi tillåter reella tal.

Beviset för det är ganska avancerat, men här är det iaf. Om någon är intresserad av sådant.

@ beerger. Fattar ingenting vad bilden säger :(

Du behöver inte förstå bilden, inget som krävs av någon mattekurs på gymnasiet.

Det enda du behöver veta:

Om du har en delmängd av de reella talen, så kommer det finnas oändligt många tal i den delmängden.

Om du har förstått den grafiska lösningen så kan vi titta på den algebraiska om du vill.

Det är ibland enklare med en algebraisk lösning, speciellt om det är flera uttryck med absolutbelopp.

Jag tycker att just detta problem lämpar sig väl för en algebraisk lösning eftersom det då blir tydligt vad svaret blir.

Säg till om du vill lösa uppgiften algebraiskt.