Hitta rätt konvergenstest

Jag ska välja lämpligt konvergenstest för följande serie

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{n^{3} + 1}$

Jag har försökt med både ett vanligt jämförelsetest och ett gränsvärdestest. Gränsvärdestestet kom jag längst på men jag är inte säker på om det är rätt test eller varför det skulle vara rätt test.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} + 1}{n^{3} + 1}}{\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4} + n^{2}}{n^{3} + 1} = \infty$

Detta skulle ju innebära att serien divergerar men svaret blir ju annorlunda om vi dividerar med exempelvis $\frac{1}{n}$ .

Kan någon förklara hur jag ska tänka?

Det är välkänt att den s k harmoniska serien 1+1/2 +1/3+.... är divergent.

(n²+1)/(n³ +1)= (1/n)*(1+1/n²)/(1+1/n³)<= (1/n)*(2/1)=2*(1/n) Serien är alltså större än 2* harmoniska serien och därför divergent enligt jämförelsekriteriet för positiva serier.

Om termerna är kvoter av polynom i n och nämnarens gradtal <= täljarens gradtal +1 så brukar man kunna uppskatta till den harmoniska serien för att visa divergens. På motsvarande sätt kan man visa konvergens om nämnarens gradtal > täljarens gradtal +1.

Svara