Hitta primitiva funktioner med variabelsubstitution

Hej!

Har en fundering kring denna uppgift. Ska hitta den primitiva funktionen m.h.a variabelsubstitution till denna integralen: 

$\int e^{2x}*\sin \left(e^{2x}\right) dx$. Jag använder variabelsubstitution, så jag låter $u=e^{2x}$, då är $du= 2*e^{2x}dx$.

Sedan använder jag att: 

$\int f\text{'}\left(g\right(x\left)\right)*g\text{'}\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\hspace{0.17em}\int f\text{'}\left(u\right)\hspace{0.17em}du = f\left(u\right) + C$. Så jag får: 

$$\begin{gathered} \int u * (-\cos (u\left)\right)*du =\hspace{0.17em}\int e^{2x}*(-\cos (e^{2x}) * 2*e^{2x}, där jag måste kompensera med \frac{1}{2*e^{2x}}, \\ d.v.s \frac{1}{2*e^{2x}}\int e^{2x}*(-\cos \left(e^{2x}\right))*2*e^{2x}. \\ Så jag får den primitiva funktionen: \\ \frac{1}{2*e^{2x}}*e^{2x}*(-\cos \left(e^{2x}\right))+C \end{gathered}$$

Är det någon som vet om detta kan stämma? Är lite osäker eftersom jag har u=e^{2x} två gånger i uttrycket.