Hitta primitiv funktion till 1/sin(3x)

Börja med att sätta $3x =t$, då är $dx=dt/3$ och  integralen blir:

$\int \frac{1}{\sin \left(3x\right)}dx=\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle t}{\displaystyle )}}dt.$

Nu kan du sätta $t=2u$, vilket ger $dt=2du$ och integralen blir

$\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sin \left(2u\right)}2du=\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle u}{\displaystyle )}{\displaystyle \cos }{\displaystyle (}{\displaystyle u}{\displaystyle )}}du.$

Vi kan nu i täljaren ersätta ettan med trigonometriska ettan:

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}\int \frac{{\sin }^2\left(u\right)+{\cos }^2\left(u\right)}{\sin \left(u\right)\cos \left(u\right)}du=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle {\sin }^2\left(u\right)}}{{\displaystyle \sin \left(u\right)\cos \left(u\right)}}du+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle {\cos }^2\left(u\right)}}{{\displaystyle \sin \left(u\right)\cos \left(u\right)}}du= \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle \sin \left(u\right)}}{{\displaystyle \cos \left(u\right)}}du+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle \cos \left(u\right)}}{{\displaystyle \sin \left(u\right)}}du=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\left(\int \tan \left(u\right) du+\int cot\left(u\right) du\right). \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

Lirim.K skrev :

Börja med att sätta $3x =t$, då är $dx=dt/3$ och  integralen blir:

$\int \frac{1}{\sin \left(3x\right)}dx=\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle t}{\displaystyle )}}dt.$

Nu kan du sätta $t=2u$, vilket ger $dt=2du$ och integralen blir

$\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sin \left(2u\right)}2du=\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle u}{\displaystyle )}{\displaystyle \cos }{\displaystyle (}{\displaystyle u}{\displaystyle )}}du.$

Vi kan nu i täljaren ersätta ettan med trigonometriska ettan:

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}\int \frac{{\sin }^2\left(u\right)+{\cos }^2\left(u\right)}{\sin \left(u\right)\cos \left(u\right)}du=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle {\sin }^2\left(u\right)}}{{\displaystyle \sin \left(u\right)\cos \left(u\right)}}du+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle {\cos }^2\left(u\right)}}{{\displaystyle \sin \left(u\right)\cos \left(u\right)}}du= \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle \sin \left(u\right)}}{{\displaystyle \cos \left(u\right)}}du+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\int \frac{{\displaystyle \cos \left(u\right)}}{{\displaystyle \sin \left(u\right)}}du=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}\left(\int \tan \left(u\right) du+\int cot\left(u\right) du\right). \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

Alltså tack så jättemycket för den utförliga förklaring! Nu förstår jag mycket bättre.Tack!

Om vi antar  u=3x  då   du=3 dx

 $$\begin{gathered} \int csc\left(3x\right) dx=3\int csc\left(u\right) du=-\ln \left|cscu+cotu\right|+C= \\ =-\ln \left|csc\left(3x\right)+cot\left(3x\right)\right|+C \end{gathered}$$