8 svar
137 visningar
revolten behöver inte mer hjälp
revolten 86 – Fd. Medlem
Postad: 3 mar 2018 19:26

Hitta primitiv funktion till 1/cos(6x)

Hej!

Hur hittar man en primitiv funktion till 1cos (6x)? Jag har inga idéer på hur jag ska lösa uppgiften.

OMs lag 12 – Fd. Medlem
Postad: 3 mar 2018 19:37

Första steget: 1cos(6x)=sec(6x)

 

Sedan substituerar du 6x= w  samt förlänger bråket med ... 

Dr. G 9457
Postad: 3 mar 2018 20:45

Det går inte att lösa integralen utan att ta till vad som får kallas ett fultrick. Du kan göra som OMs lag föreslår och försöka hitta ett mer eller mindre intuitivt sätt att förlänga bråket på.

Alternativa fultrick nr 2 är att istället sätta 

t = tan(6x/2)

Vad blir då cos(6x) och dx uttryckta i t och dt?

revolten 86 – Fd. Medlem
Postad: 3 mar 2018 22:03
OMs lag skrev :

Första steget: 1cos(6x)=sec(6x)

 

Sedan substituerar du 6x= w  samt förlänger bråket med ... 

Jag vet faktiskt inte vad sec() är för något. :0

revolten 86 – Fd. Medlem
Postad: 3 mar 2018 22:05
Dr. G skrev :

Det går inte att lösa integralen utan att ta till vad som får kallas ett fultrick. Du kan göra som OMs lag föreslår och försöka hitta ett mer eller mindre intuitivt sätt att förlänga bråket på.

Alternativa fultrick nr 2 är att istället sätta 

t = tan(6x/2)

Vad blir då cos(6x) och dx uttryckta i t och dt?

Hur ser man att t=tan(6x/2) är ett bra variabelbyte i den här uppgiften?

Dr. G 9457
Postad: 3 mar 2018 22:12
revolten skrev :

Hur ser man att t=tan(6x/2) är ett bra variabelbyte i den här uppgiften?

Det är inte uppenbart, därav är det ett fultrick.

Annars kan du göra som Lirim. K gjorde i din andra tråd. 

Faktum är att sin(x) och cos(x) båda är rationella funktioner av tan(x/2). De gör att substitutionen t = tan(x/2) gör om rationella uttryck av sin(x) och cos(x) till till rationella uttryck i t.

Om du inte har stött på detta än så kommer det nog snart.

alireza6231 250 – Fd. Medlem
Postad: 3 mar 2018 22:27 Redigerad: 3 mar 2018 22:50

man kan definiera 1cosx=secx

secx=secxsecx+tanxsecx+tanxdx=sec2x+secxtanxsecx+tanxdxlnsecx+tanx+C=

1cos(6x)=sec(6x)vi antar   u=6x    då    du= 6dxsec(6x)dx=6secu du=6lnsecu+tanu+C=6lnsec(6x)+tan(6x)+C

revolten 86 – Fd. Medlem
Postad: 3 mar 2018 22:34
Dr. G skrev :
revolten skrev :

Hur ser man att t=tan(6x/2) är ett bra variabelbyte i den här uppgiften?

Det är inte uppenbart, därav är det ett fultrick.

Annars kan du göra som Lirim. K gjorde i din andra tråd. 

Faktum är att sin(x) och cos(x) båda är rationella funktioner av tan(x/2). De gör att substitutionen t = tan(x/2) gör om rationella uttryck av sin(x) och cos(x) till till rationella uttryck i t.

Om du inte har stött på detta än så kommer det nog snart.

Fast i den andra tråden skulle jag använda mig av dubblavinkeln för sinus. Ska jag då använda dubblavinkeln för cosinus på denna?

Lirim.K 460
Postad: 3 mar 2018 22:52

Nja det blir inte riktigt analogt med det jag gjorde i andra tråden. Du får först göra omskrivningen

1cos(x)=1cos(x)·cos(x)cos(x)=cos(x)cos2(x)=cos(x)1-sin2(x).

Sätt nu t=sin(x), då är dt=cos(x) och integralen blir, via partialbråksuppdelning

11-t2dt=1211+t+11-tdt.

Nu kan du ta över.

Jag rekommenderar dig dock att lära dig universalsubstitutionen som Dr.G pratar om, den är väldigt användbar när man har att göra med rationella integrander i termer av de trigonometriska funktionerna.

Svara
Close