Hitta primitiv funktion till 1/cos(6x)

Första steget: $\frac{1}{\cos \left(6x\right)}=\sec \left(6x\right)$

Sedan substituerar du 6x= w  samt förlänger bråket med ... 

Det går inte att lösa integralen utan att ta till vad som får kallas ett fultrick. Du kan göra som OMs lag föreslår och försöka hitta ett mer eller mindre intuitivt sätt att förlänga bråket på.

Alternativa fultrick nr 2 är att istället sätta 

t = tan(6x/2)

Vad blir då cos(6x) och dx uttryckta i t och dt?

OMs lag skrev :

Första steget: $\frac{1}{\cos \left(6x\right)}=\sec \left(6x\right)$

 

Sedan substituerar du 6x= w  samt förlänger bråket med ... 

Jag vet faktiskt inte vad sec() är för något. :0

Dr. G skrev :

Det går inte att lösa integralen utan att ta till vad som får kallas ett fultrick. Du kan göra som OMs lag föreslår och försöka hitta ett mer eller mindre intuitivt sätt att förlänga bråket på.

Alternativa fultrick nr 2 är att istället sätta 

t = tan(6x/2)

Vad blir då cos(6x) och dx uttryckta i t och dt?

Hur ser man att t=tan(6x/2) är ett bra variabelbyte i den här uppgiften?

revolten skrev :

Hur ser man att t=tan(6x/2) är ett bra variabelbyte i den här uppgiften?

Det är inte uppenbart, därav är det ett fultrick.

Annars kan du göra som Lirim. K gjorde i din andra tråd. 

Faktum är att sin(x) och cos(x) båda är rationella funktioner av tan(x/2). De gör att substitutionen t = tan(x/2) gör om rationella uttryck av sin(x) och cos(x) till till rationella uttryck i t.

Om du inte har stött på detta än så kommer det nog snart.

man kan definiera $\frac{1}{\cos x}=secx$

$$\begin{gathered} \int secx=\int secx\frac{secx+\tan x}{secx+\tan x}dx=\int \frac{se{c}^{2}x+secx\tan x}{secx+\tan x}dx \\ \ln \left|secx+\tan x\right|+C \end{gathered}$$=

$$\begin{gathered} \frac{1}{\cos \left(6x\right)}=sec\left(6x\right) \\ vi antar u=6x då du= 6dx \\ \int sec\left(6x\right)dx=6\int secu du=6\ln \left|secu+\tan u\right|+C=6\ln \left|sec\left(6x\right)+\tan \left(6x\right)\right|+C \end{gathered}$$

Dr. G skrev :

revolten skrev :

Hur ser man att t=tan(6x/2) är ett bra variabelbyte i den här uppgiften?

Det är inte uppenbart, därav är det ett fultrick.

Annars kan du göra som Lirim. K gjorde i din andra tråd. 

Faktum är att sin(x) och cos(x) båda är rationella funktioner av tan(x/2). De gör att substitutionen t = tan(x/2) gör om rationella uttryck av sin(x) och cos(x) till till rationella uttryck i t.

Om du inte har stött på detta än så kommer det nog snart.

Fast i den andra tråden skulle jag använda mig av dubblavinkeln för sinus. Ska jag då använda dubblavinkeln för cosinus på denna?

Nja det blir inte riktigt analogt med det jag gjorde i andra tråden. Du får först göra omskrivningen

$\frac{1}{\cos \left(x\right)}=\frac{1}{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}·\frac{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}=\frac{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}{{\displaystyle {\cos }^2}{\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}=\frac{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}}{1-{\sin }^2\left(x\right)}.$

Sätt nu $t=\sin \left(x\right)$, då är $dt=\cos \left(x\right)$ och integralen blir, via partialbråksuppdelning

$\int \frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt$.

Nu kan du ta över.

Jag rekommenderar dig dock att lära dig universalsubstitutionen som Dr.G pratar om, den är väldigt användbar när man har att göra med rationella integrander i termer av de trigonometriska funktionerna.