Hitta partikulärlösning till diofantisk ekvation

Hej hörni! Jag ska lösa den diofantiska ekvationen $105 x + 160 y = 10$ .

Jag började med att räkna ut SGD(105,160) med hjälp av Euklides algoritm.

$E u k l i d e s a l g o r i t m g e r : 160 = 1 * 105 + 55 105 = 1 * 55 + 50 55 = 1 * 50 + 5 50 = 10 * 5 + 0$

Jag konstaterade att SGD(105,160) = 5. 5 | 10, vilket gör att ekvationen är lösbar. Jag förkortade sedan den ursprungliga ekvationen med SGD, vilket gav mig ekvationen $21 x + 32 y = 2$ .

Nästa steg för att hitta lösningarna till ekvationen är att hitta en partikulärlösning. Jag har tittat igenom mina lektionsanteckningar och sett på genomgångar på YouTube, men alla hoppar över hur man hittar den första lösningen till ekvationen.

Finns det någon matematisk metod för att hitta partikulärlösningen eller behöver man testa sig fram?

Det finns en snabb metod, som bara har nackdelen att man lätt tappar bort sig när man räknar för hand.

Man löser först samma problem med 1 i högerledet, sedan kan man multiplicera allting med 2.

Man kör Euklides algoritm "baklänges":

32 = 1*21 + 11

21 = 1*11 + 10

11 = 1*10 + 1

Den där ettan kan man nu skriva om:

1 = 11 - 10 = 11 - (21 - 11) = 2*11 - 21 = 2(32 - 21) - 21 = 2*32 - 3*21.

Tack så mycket!! Hänger med på metoden nu och löste uppgiften!

Svara