Desperat hjälp med dy/dx=0,1y+10e^−0,05x

Hej!

Jag ska bestämma på explicit form den paritkulära lösningen till differentialekvationen

$\frac{d y}{d x} = 0, 1 y + 10 e^{- 0, 05 x} f ö r v i l k e n y = 600 n ä r x = 0$

Det är en linjär differentialekvation, vilket då ger:

$y' - 0, 1 y = 10 e^{- 0, 05 x}$

Då följer jag dessa steg för att hitta lösningen:

1. Hitta $\int g (x) d x = G (x)$ .
Vilket då är talet som är multiplicerat med y: 0,1. Det ger $\int 0, 1 d x = 0, 1 x$

2. Integrerande faktor $e^{G (x)} > 0$
Det är då G(x) som vi fick ut i steg 1, vilket blir $e^{- 0, 1 x}$

3. I steg tre gäller:

$e^{G (x)} \cdot (\underset{⏟}{\frac{d y}{d x} + g (x) \cdot y = f (x)}) \overset{}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{e^{G (x)} \cdot \frac{d y}{d x} + e^{G (x)} \cdot g (x) \cdot y} = e^{G (x)} \cdot f (x)}} \overset{⏞}{\int \frac{d}{d x} (e^{G (x)} \cdot y)}$

Vilket ger:

$e^{- 0, 1 x} \cdot (\underset{⏟}{\frac{d y}{d x} + e^{- 0, 1 x} \cdot 0, 1 y = 10 e^{- 0, 05 x}}) \overset{}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{e^{- 0, 1 x} \cdot \frac{d y}{d x} + e^{- 0, 1 x} \cdot 0, 1 y} = e^{- 0, 1 x} \cdot 10 e^{- 0, 05 x}}} \overset{⏞}{\int \frac{d}{d x} (e^{- 0, 1 x} \cdot y)}$

Om man går vidare bör det sen bli:

$e^{- 0, 1 x} \cdot y = \int e^{- 0, 1 x} \cdot 10 e^{- 0, 05 x} d x y = \frac{\int e^{- 0, 1 x} \cdot 10 e^{- 0, 05 x} d x}{e^{- 0, 1 x}}$

Men härifrån vet jag inte hur jag ska fortsätta?

PS. Jag har ett facit som läraren skrivit fel i och som jag inte förstår mig på.

Nästa steg är att du ska beräkna integralen

$\int e^{- 0.1 x} \cdot 10 e^{- 0.05 x} d x = 10 \int e^{- 0.15 x} d x$

Hej tussan,

Först några kommentarer:

Det du kallar g(x) är -0.1 inte 0.1. Integralen av g blir därför $G(x)=-\frac{x}{10}$

Du har ändå fått rätt integrerande faktor $e^{-\frac{x}{10}}$

Sedan har du ytterligare ett teckenfel när du multiplicerar ekvationen med den integrerande faktorn, rätt uttryck är alltså (med minustecken framför 0.1y):

$e^{-\frac{x}{10}}y'-\frac{y}{10}e^{-\frac{x}{10}}=e^{-\frac{x}{10}}\cdot10e^{-\frac{x}{20}}$

Detta kan skrivas om som (vilket du verkar göra korrekt):

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(e^{-x/10}y)=10e^{-3x/20}$

Detta är ekvivalent med $e^{-x/10}y=10\int e^{-3x/20}\mathrm{d}x+C$

Där C är en godtycklig konstant. Den allmänna lösningen y(x) är nu enkel att bestämma (beräkna integralen och multiplicera med $e^{x/10}$ på båda sidor för att få y ensamt). Slutligen kan du också få ut ett värde på konstanten genom sätta y(0)=600 och lösa ut C.

Tack så jättemycket för hjälpen! Ska räkna om och se om jag lyckas! :)

Svara

Visa senaste svar