Hitta maxvärde på ellips

Hej! Jag får fel i min lösning till följande uppgift:

Låt $g(x,y)=4x^2+y^2-17$. Lagrange ger ekvationssystemet:

$\left\{\begin{array}{l}\nabla f=k\nabla g\\ g=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}(1,2)=(8kx,2ky)\\ 4x^2+y^2-17=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1=8kx\\ 2=2ky\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{8x}\\ k=\frac{1}{y}\end{array}\right.\Rightarrow y=8x$

Insättning i g=0 ger $4x^2+64x^2-17=0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{17}{68}}\Rightarrow y=\pm 8\sqrt{\frac{17}{68}}$.

Men enligt facit ska $(x,y)=\pm (\frac{1}{2},4)$, så här måste jag ha gjort något galet. Vadå? I facit har de visserligen använt sig av den versionen av Lagranges metod som använder sig av $\lambda$, men enligt vår lärare ska ekvationssystemet jag ställde upp ovan vara ekvivalent med denna.