hitta max värde för konstanten a

Jag fick nu tre nollställen till derivatan men märker att den negativa lösningen x=-1 respektive x=3-sqrt(17)/4 ej gäller då x>0 pga ln som ej är definierad och negativ tal. Men då finns det ingen största max på a?

a är definierat för x > 0, inte för x ≤ 0

Jag får da/dx = – (x–1)² / [2x(1+x²)]

För x > 1 är det negativt, för x = 1 är det noll, för 0 < x < 1 är det negativt. Så a avtar för alla positiva x.

När x går mot 0 från höger går a mot + oändligheten.

Så ekv har reell lösn för hur stora a som helst, om jag tänker rätt.

Meningen ”Svara med Inf …” förstår jag inte. När x går mot oändl så går a mot – oändl.

Marilyn skrev:

a är definierat för x > 0, inte för x ≤ 0

Jag får da/dx = – (x–1)² / [2x(1+x²)]

För x > 1 är det negativt, för x = 1 är det noll, för 0 < x < 1 är det negativt. Så a avtar för alla positiva x.

När x går mot 0 från höger går a mot + oändligheten.

Så ekv har reell lösn för hur stora a som helst, om jag tänker rätt.

 

Meningen ”Svara med Inf …” förstår jag inte. När x går mot oändl så går a mot – oändl.

Jag ändrade med min teckentabell nu och fokuserar på att undersöka bara den positiva derivata nollställe. Vänta är min derivering fel eller vadå? Varför får vi så olika? Jag deriverade en term var för sig.

Jag kan ha deriverat fel (har aldrig hänt, men någon gång ska vara först) men jag ser inte var du får ditt nollställe från.

Litet fult men kanske läsbart

Marilyn skrev:

Jag kan ha deriverat fel (har aldrig hänt, men någon gång ska vara först) men jag ser inte var du får ditt nollställe från.

ja för jag kollade på en hemsida och min derivering är korrekt. Min derivata nollställe kommer från att jag prövade att lägga x=-1 och får att det blir en rot och sen gjorde jag polynomdivision för att hitta de resterande rötterna. 

Marilyn skrev:

 

Meningen ”Svara med Inf …” förstår jag inte. När x går mot oändl så går a mot – oändl.

Då skulle jag svara -Inf.

Marilyn skrev:

Litet fult men kanske läsbart

 

Fast jag gjorde så också men ska räkna om igen...

Ja, infinity!, jag trodde det var infemum och tänkte goddagyxskaft. Nu är jag med.

Nu ser jag min felräkning. Glömde förlänga med x i sista termen.

Here we go again!

Marilyn skrev:

Nu ser jag min felräkning. Glömde förlänga med x i sista termen.

Here we go again!

Detta är vad jag får. 

Marilyn skrev:

Ja, infinity!, jag trodde det var infemum och tänkte goddagyxskaft. Nu är jag med.

Att jag direkt kopplade till infinity snarare än infimum var nog för att det heter Inf i standardflyttalshantering i programmering.

Nu börjar det bli rörigt här, men första termen i täljaren sista raden får jag till 4x och inte 3x

Marilyn skrev:

Nu börjar det bli rörigt här, men första termen i täljaren sista raden får jag till 4x och inte 3x

Det får jag med nu. Då är ekv såhär då.  Nu ska vi hitta derivatans nollställe och det är lite klurigt pga x^3 i täljaren som vi fokuserar på för nämnaren behövs ej?

Jag gjorde också polynomdivision och fick ett nollställe (–3+sqr17)/4

Fast behövs det? Räcker det inte att konstatera att a blir hur stort som helst när vi närmar oss nollan. Behöver vi ens derivera? –lnx går mot inf när x går mot 0⁺.

Känns som jag har missat något.

Marilyn skrev:

Jag gjorde också polynomdivision och fick ett nollställe (–3+sqr17)/4

Fast behövs det? Räcker det inte att konstatera att a blir hur stort som helst när vi närmar oss nollan. Behöver vi ens derivera? –lnx går mot inf när x går mot 0⁺.

Känns som jag har missat något.

Ja asså jag minns att vår föreläsare gjorde något sånt derivering och hitta nollställe. Sen skissade han grafen

Tveksamt om det är läsligt, och jag slarvade nog en del på slutet. Man kan såklart beräkna a för x = (–3+sqr17)/4 , happylife., men jag måste vara trög för – som sagt – en okulär besiktning av det givna oderiverade uttrycket ger a(0⁺) = 0 + inf/6 – 0, hur stort som helst. 

om a=1 så är det största värde. Funktionen är växande mellan 0 och infinity. Men detta är tydligen fel

Vår föreläsare tittade på gränsvärde då x går mot plus o minus infinity för att se vad funktionen går mot och sen när x  går mot 0 från plus sidan. Dock förstår jag ej varför han gjorde så efter att han hittade extrempunkt mha teckentabell

Just det, (–3+sqr17)/4 ligger mellan 0 och 1. Men det är ingen dubbelrot så tecknet växlar där.

x.                    0.                     (–3+sqr17)/4.                  1

da/dx.       Odef.        –.                 0.                 +.        0.              –

a.                Inf.        Avtar.        Min.               Växer.  Max.        Avtar mot inf

a(x) har max för x = 1 men det är inte Största Värde. 
Det är uppenbarligen något jag inte fattar här. Men måste iväg, tittar ikväll om det hänt något.

Marilyn skrev:

Just det, (–3+sqr17)/4 ligger mellan 0 och 1. Men det är ingen dubbelrot så tecknet växlar där.

 

x.                    0.                     (–3+sqr17)/4.                  1

da/dx.       Odef.        –.                 0.                 +.        0.              –

a.                Inf.        Avtar.        Min.               Växer.  Max.        Avtar mot inf

 

a(x) har max för x = 1 men det är inte Största Värde. 
Det är uppenbarligen något jag inte fattar här. Men måste iväg, tittar ikväll om det hänt något.

Är största värde pi/4-1/3? Aa jo du har rätt x=-3+sqrt(17)/4 är min 

Det blev litet slarviga räkningar eftersom jag skulle iväg tidigare, och jag har inte räknat om. Men utgår vi från det vi fått fram tror jag det ska tolkas så här:

Vi startar från x = 0 och går åt höger. Då kommer a ned från infinity. Det finns alltså inget största a-värde. Då vi kommit till x = (–3+sqr17)/4 så har a ett lokalt minimum som jag inte tänker beräkna. Därefter växer a tills x = 1 som är ett lokalt maximum (värdet är mycket riktigt pi/4 – 1/3, men det är ointressant). Men det är inte största värde, det finns större värden för x nära noll. För x > 1 avtar a mot –inf.

Så mitt svar på  uppgiften är max a = inf (men det är inte en maximipunkt.

a växer i intervallet (–3+sqr17)/4 < x < 1.

(Tänk dig en backhoppare på skidor. Hen åker utför, så kommer ett gupp så hen flyger i en båge över marken. Någonstans i hoppet har hopparen en maxpunkt, men det är inte högsta värde, det är i toppen på backen.)

Marilyn skrev:

Det blev litet slarviga räkningar eftersom jag skulle iväg tidigare, och jag har inte räknat om. Men utgår vi från det vi fått fram tror jag det ska tolkas så här:

Vi startar från x = 0 och går åt höger. Då kommer a ned från infinity. Det finns alltså inget största a-värde. Då vi kommit till x = (–3+sqr17)/4 så har a ett lokalt minimum som jag inte tänker beräkna. Därefter växer a tills x = 1 som är ett lokalt maximum (värdet är mycket riktigt pi/4 – 1/3, men det är ointressant). Men det är inte största värde, det finns större värden för x nära noll. För x > 1 avtar a mot –inf.

Så mitt svar på  uppgiften är max a = inf (men det är inte en maximipunkt.

a växer i intervallet (–3+sqr17)/4 < x < 1.

 

(Tänk dig en backhoppare på skidor. Hen åker utför, så kommer ett gupp så hen flyger i en båge över marken. Någonstans i hoppet har hopparen en maxpunkt, men det är inte högsta värde, det är i toppen på backen.)

Så ska jag beräkna gränsvärde eller vadå? Hur vet man att a är max inf ?  Hur vet du att det finns större värden för a nära 0?  Är det ej att funktionen i vänsterledet är växande? Förstår ej vad det har med a att göra.

Marilyn är du kvar?

Värdemängden för funktionen f(x) i VL av ekvationen i problemet är (-$\infty , \infty$). Det betyder att det finns åtminstone en lösning till ekvationen för varje värde a. Så rätt svar på första frågan borde vara att max a = inf, såsom man definierar det enligt problemtexten.

Att värdemängden till f(x) är (-∞, ∞) ser man på föjande sätt. Funktionen är definierad för x i inervallet (0, $\infty$). Då vi låter x gå mot 0⁺ så går f(x) mot +$\infty$ och då x går mot $\infty$ så går f(x) mot -$\infty$.

Eftsom funktionen f(x) är kontinerlig så antas därför alla värden i intervallet (-∞, ∞).

På andra frågan så bör man skissa funktionen mha av derviata. Funktionen är först avtagande, når sedan ett lokalt min, för att sedan öka till ett lokalt max, efter max är funktionen avtagande. Funktionen är därför växande mellan det lokala minimumet och det lokala maximumet.

PATENTERAMERA skrev:

Värdemängden för funktionen f(x) i VL av ekvationen i problemet är (-$\infty , \infty$). Det betyder att det finns åtminstone en lösning till ekvationen för varje värde a. Så rätt svar på första frågan borde vara att max a = inf, såsom man definierar det enligt problemtexten.

Att värdemängden till f(x) är (-∞, ∞) ser man på föjande sätt. Funktionen är definierad för x i inervallet (0, $\infty$). Då vi låter x gå mot 0⁺ så går f(x) mot +$\infty$ och då x går mot $\infty$ så går f(x) mot -$\infty$.

Eftsom funktionen f(x) är kontinerlig så antas därför alla värden i intervallet (-∞, ∞).

På andra frågan så bör man skissa funktionen mha av derviata. Funktionen är först avtagande, når sedan ett lokalt min, för att sedan öka till ett lokalt max, efter max är funktionen avtagande. Funktionen är därför växande mellan det lokala minimumet och det lokala maximumet.

Varför undersöker man oändlighet och 0+ ? Jag kan tänka mig funktionen ej är definierad för x=0 för ln då.  Jag får tyvärr ingen lokal min runt -3/4+sqrt(17)/4 förutom vid x=0 ,men jag är ej säker på varför vi väljer att titta på om det är max eller min för x=0 eftersom det ej är definierad där?

Funktionen är f(x) = arctanx - (1/6)lnx - (1/3)x.

Vi vet att lnx går mot -$\infty$ då x går mot 0⁺. Det betyder att -(1/6)lnx går mot $+\infty$.

Det andra termerna i f(x) går mot 0 då x går mot 0⁺. Så f(x) går mot $+\infty$då x går mot 0⁺.

Eftersom lnx endast är definierad för x > 0 så gäller detta även för f(x).

f(x) går mot -$\infty$ då x går mot $\infty$.

f(x) är kontinuerlig på (0, $\infty$) eftersom den är summan av tre kontinuerliga funktioner.

Därför kan f anta alla värden i ($-\infty$, $\infty$) = $\mathrm{ℝ}$, vilket således är funktionens värdemängd.

Om a är en konstant så har ekvationen f(x) = a åtminstone en lösning om och endast om a ligger i f:s värdemängd - enligt definitionen av värdemängd. Eftersom värdemängden är hela $\mathrm{ℝ}$ så finns det lösningar för alla reella värden på a. Det finns således inget största värde på a för vilket lösningar existerar.

Sedan ser du att du har två lösningar till f’(x) = 0. Ena lösningen ge upphov till ett lokalt min andra till ett lokalt max.

PATENTERAMERA skrev:

Funktionen är f(x) = arctanx - (1/6)lnx - (1/3)x.

Vi vet att lnx går mot -$\infty$ då x går mot 0⁺. Det betyder att -(1/6)lnx går mot $+\infty$.

Det andra termerna i f(x) går mot 0 då x går mot 0⁺. Så f(x) går mot $+\infty$då x går mot 0⁺.

Eftersom lnx endast är definierad för x > 0 så gäller detta även för f(x).

f(x) går mot -$\infty$ då x går mot $\infty$.

f(x) är kontinuerlig på (0, $\infty$) eftersom den är summan av tre kontinuerliga funktioner.

Därför kan f anta alla värden i ($-\infty$, $\infty$) = $\mathrm{ℝ}$, vilket således är funktionens värdemängd.

Om a är en konstant så har ekvationen f(x) = a åtminstone en lösning om och endast om a ligger i f:s värdemängd - enligt definitionen av värdemängd. Eftersom värdemängden är hela $\mathrm{ℝ}$ så finns det lösningar för alla reella värden på a. Det finns således inget största värde på a för vilket lösningar existerar.

Sedan ser du att du har två lösningar till f’(x) = 0. Ena lösningen ge upphov till ett lokalt min andra till ett lokalt max.

Jaha okej. Så om jag förstår detta rätt så saknar a största värde dvs max värde då a ligger mellan -inf och plus inf? Du säger att f'(x) har lokalt min. Jag vet ej vad det lokala min har för x värde? Jag fann som sagt tre st derivata nollställen om vi bortser den negativa lösningen pga villkoret x>0 för f(x) så får jag att x=1 har en lokal max. Var menar du är vår lokal min här?

Titta på inlägg #22.

Laguna skrev:

Titta på inlägg #22.

Aa juste!