Hitta max/min med 3 variabler

f(x, y, z) = 1 − (x − y + z) ^4.

Är f(1,1,0) en max/minimipunkt?

Försök till lösning:

Finner andraderivatan

f´´xx: -12(x-y+z)^2

f´´xy: 12(x-y+z)^2

f´´xz: -12(x-y+z)^2

f´´yy: -12(x-y+z)^2

f´´yz: 12(x-y+z)^2

f´´zz: -12(x-y+z)^2

Hessian:

Bryter ut 12(x-y+z)^2 och får en matris med:

-1, 1, -1

1, -1, 1

-1, 1, -1

Eftersom f(1,1,0) blir 12*(1 -1 +0) ^2 borde hela matrisen bli 0? Tänker jag rätt eller fel?

$g (t) = 1 - t^{4}$ ...har uppenbart max för t=0

Affe Jkpg skrev:
$g (t) = 1 - t^{4}$ ...har uppenbart max för t=0

Ja, men jag får det inte att gå ihop med Hessian

Hej!

Funktionens har kontinuerliga partiella andraderivator, vilket medför att funktionens hessian är en symmetrisk matris och dess egenvärden är därför reella tal.

Om samtliga egenvärden är strikt positiva så är hessianen positivt definit.
Om samtliga egenvärden är strikt negativa så är hessianen negativt definit.

Hessianen är

$H(f)(x,y,z) = 12(x-y+z)^{2} \cdot\left(\begin{matrix}-1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&-1\end{matrix}\right)$ .

Egenvärden till den symmetriska matrisen är $-3$ , $0$ och $0$ , vilket indikerar att hessianen $H(f)(x,y,z)$ är negativt semi-definit för alla $(x,y,z)$ .

Albiki skrev:
Hej!
Funktionens har kontinuerliga partiella andraderivator, vilket medför att funktionens hessian är en symmetrisk matris och dess egenvärden är därför reella tal.
Om samtliga egenvärden är strikt positiva så är hessianen positivt definit.
Om samtliga egenvärden är strikt negativa så är hessianen negativt definit.
Hessianen är
$H(f)(x,y,z) = 12(x-y+z)^{2} \cdot\left(\begin{matrix}-1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&-1\end{matrix}\right)$ .

Men x - y + z blir ju 0???

Svara

Visa senaste svar