Hitta matris för linjär avbildning

"Bestäm matrisen för den linjära avbildningen i planet som ges av spegling i linjen $y = k x$ , där $k \in ℝ$ ."

Jag vet att punkten $(1, k)$ finns på linjen och att längden mellan punkten och origo är $\sqrt{1 + k^{2}}$ .

Normalen blir då $n = \frac{1}{\sqrt{1 + k^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix})$ .

Speglingen $v_{s}$ av $v$ i $L$ ges av $v_{s} = 2 v_{L} - v$ .

Projektionen $v_{L}$ ges av $v_{L} = (v \cdot n) n$ .

Om $v = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ får jag speglingen $v_{s} = (\begin{matrix} \frac{2}{1 + k^{2}} (x + y k) - x \\ \frac{2 k}{1 + k^{2}} (x + y k) - y \end{matrix})$ efter några rader beräkningar. Jag vet att det är rätt fram hit enligt facit men nästa steg är att få fram $(\begin{matrix} \frac{2}{1 + k^{2}} - 1 & \frac{2 k}{1 + k^{2}} \\ \frac{2 k}{1 + k^{2}} & \frac{2 k^{2}}{1 + k^{2}} - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ och jag har verkligen ingen aning om hur de tar det steget. Jag har kommit fram till att det inte kan vara normalvektorn gånger identitetsmatrisen men i övrigt vet jag inte hur man ska tänka.

Enklast är att tänka i egenvektorer. Är det bekant?

Har inte kommit så långt i boken än så tyvärr inte.

vs = [xs; ys]

så gruppera termer så att du kan skriva

xs = a*x + b*y

ys = c*x + b*y

Matrisen kan då skrivas

M = [a, b; c, d]

Hej!

Låt vektorerna $(1,0)$ och $(0,1)$ vara en bas för planet $\mathbb{R}^2$ . Den linjära avbildningens $L$ matris med avseende på denna bas är en $2\times2$ -matris vars två kolonner är vektorerna $L(1,0)$ och $L(0,1).$

För dig är L= Spegling i linjen y=kx. Hur ser vektorerna L(0,1) och L(1,0) ut?

Svara

Visa senaste svar