Hitta lösningen på en matrisekvation

Systemet har oändligt många lösningar som ligger utmed en linje. En punkt på linjen, dvs ett exempel på en lösning, är $\mathbf{x}=(2,0,1)$.

Om du håller tungan rätt i munnen när du Gausseliminerar totalmatrisen kommer du få nollor i sista raden.

Visa din Gausselimination så kan vi säkert reda ut var du slarvat till det. Det är förmodligen tänkt att du ska hitta linjens ekvation (dvs linjen med alla lösningar)

D4NIEL skrev:

Systemet har oändligt många lösningar som ligger utmed en linje. En punkt på linjen, dvs ett exempel på en lösning, är $\mathbf{x}=(2,0,1)$.

Om du håller tungan rätt i munnen när du Gausseliminerar totalmatrisen kommer du få nollor i sista raden.

Visa din Gausselimination så kan vi säkert reda ut var du slarvat till det. Det är förmodligen tänkt att du ska hitta linjens ekvation (dvs linjen med alla lösningar)

I sista steget har vi fått en övertriangulär matris. Vi ville eliminera de två elementen i andra kolumnen under den första raden. Vi ser att sista raden i den reducerade matrisen består av nollor, vilket innebär att det finns en fri variabel.

Hur gör man nu?

D4NIEL skrev:

Systemet har oändligt många lösningar som ligger utmed en linje. En punkt på linjen, dvs ett exempel på en lösning, är $\mathbf{x}=(2,0,1)$.

Om du håller tungan rätt i munnen när du Gausseliminerar totalmatrisen kommer du få nollor i sista raden.

Visa din Gausselimination så kan vi säkert reda ut var du slarvat till det. Det är förmodligen tänkt att du ska hitta linjens ekvation (dvs linjen med alla lösningar)

Jag ville bara ursäkta mig över formateringsproblemen tidigare då jag var tvungen att skriva lösningen i ett Overleaf dokument. 

Dock undrar jag över hur du kan se att systemet har oändligt många lösningar och ligger längs en linje?

Jag lyckades följa dina steg för Gausseliminering och fick nollor i sista raden.

Jag förstod också att vi har en fri variabel, men jag är inte säker på hur jag ska fortsätta nu för att hitta linjens ekvation.

Tack igen för din hjälp, jag skulle verkligen uppskatta om du kunde ge mig lite ledtrådar om hur jag kan hitta linjens ekvation.

Din matris har två pivotelement, på rad 1 och 2. Därför är variablerna $a_1$ och $a_2$ bundna.  Du har $n=3$ okända variabler totalt och $r=2$ bundna variabler. Om $r<>$ finns det oändligt många lösningar. Om vi istället hade haft $r=n$ hade lösningen varit entydig (bara en lösning). Lösningsskaran har dimensionen $n-r=3-2=1$. Det betyder att lösningarna ligger utmed en linje. Hade istället $n-r=2$ hade lösningsskaran haft dimensionen 2 och utgjort ett plan.

Vi låter den fria variabeln anta värdet $a_3=t$

Rad två ger då ekvationen

$2a_2+t=1\iff a_2=1/2-t/2$

Rad ett ger då ekvationen

$a_1-2t=0\iff a_1=2t$

Försök nu skriva sambanden som en linje. (tekniskt sett är det redan en linje, men kanske inte på en form du är van vid för linjer)