Hitta kritiska punkter

Vill hitta kritiska punkter till $f (x, y) = x^{2} y e^{- (x^{2} + y^{2})}$ . Om vi deriverar f(x,y) med avseende på x så får vi $f_{1} (x, y) = 2 x y e^{- (x^{2} + y^{2})} (1 - x^{2})$ , och med avseende på y får vi $f_{2} (x, y) = x^{2} e^{- (x^{2} + y^{2})} (1 - 2 y^{2})$ . Hur tänker vi här rent geometriskt när vi vill undersöka för nära derivatan är 0? I analys i en variabel så förstår jag att man undersöker för vilka värden på x lutningen är 0, här vet jag inte riktigt hur man ska tänka. Hade uppskattat om någon förklarade hur man ska tänka.

Skall derivatan vara noll måste väl lutningen i såväl x-led som y-led vara 0, dvs.

$(\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 x y * e^{- (x^{2} + y^{2})} * (1 - x^{2}) \\ x^{2} * e^{- (x^{2} + y^{2})} * (1 - 2 y^{2}) \end{matrix})$

om dina uträkningar stämmer.

Bedinsis skrev:
Skall derivatan vara noll måste väl lutningen i såväl x-led som y-led vara 0, dvs.

$(\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 x y * e^{- (x^{2} + y^{2})} * (1 - x^{2}) \\ x^{2} * e^{- (x^{2} + y^{2})} * (1 - 2 y^{2}) \end{matrix})$

om dina uträkningar stämmer.

Jag får 4 kritiska punkter; $(\pm 1, 1 / \sqrt{2}), (\pm 1, - 1 / \sqrt{2})$ men det ska tydligen vara en punk till, (0,y) har du en aning om hur de kommit fram till de?

Eftersom att derivatan i x-led innehåller faktorerna 2*x*y och derivatan i y-led innehåller faktorn x² så innebär det att uträkningen av derivatan i någondera led involverar en multiplikation med faktorn x.

Om denna faktor är satt till 0 så kommer alltså derivatan i båda leden bli 0. Därför är alla punkter där x är lika med 0 kritiska, och de kan även beskrivas som (x,y)= (0,y).

Bedinsis skrev:
Eftersom att derivatan i x-led innehåller faktorerna 2*x*y och derivatan i y-led innehåller faktorn x² så innebär det att uträkningen av derivatan i någondera led involverar en multiplikation med faktorn x.

Om denna faktor är satt till 0 så kommer alltså derivatan i båda leden bli 0. Därför är alla punkter där x är lika med 0 kritiska, och de kan även beskrivas som (x,y)= (0,y).

Hur undersöker jag den punkten då?

Brukar använda mig av denna formeln (nedan), om jag stoppar in (a,b)=(0,y) så får jag 0 vilket säger att det inte finns någon max/min/sadelpunkt till funktionen. Stoppar jag in (a,b)=(0,0) så får jag samma sak.

$Kritisk-punkt(x,y)=(a,b) \\ D(a,b)=f_{11}(a,b)*f_{22}(a,b)-f_{12}(a,b)^2 \\ D>0,f_{11}(a,b)>0 ,lokal-min \\ D>0,f_{11}(a,b)<0 ,lokal-max="" \\=""><0 ,sadelpunkt="" \\="" d="0,resultatlös">$

Cien skrev:
Bedinsis skrev:
Eftersom att derivatan i x-led innehåller faktorerna 2*x*y och derivatan i y-led innehåller faktorn x² så innebär det att uträkningen av derivatan i någondera led involverar en multiplikation med faktorn x.

Om denna faktor är satt till 0 så kommer alltså derivatan i båda leden bli 0. Därför är alla punkter där x är lika med 0 kritiska, och de kan även beskrivas som (x,y)= (0,y).

Hur undersöker jag den punkten då?

Brukar använda mig av denna formeln (nedan), om jag stoppar in (a,b)=(0,y) så får jag 0 vilket säger att det inte finns någon max/min/sadelpunkt till funktionen. Stoppar jag in (a,b)=(0,0) så får jag samma sak.

$Kritisk-punkt(x,y)=(a,b) \\ D(a,b)=f_{11}(a,b)*f_{22}(a,b)-f_{12}(a,b)^2 \\ D>0,f_{11}(a,b)>0 ,lokal-min \\ D>0,f_{11}(a,b)<0 ,lokal-max="" \\=""></0><0 ,sadelpunkt="" \\="" d="0,resultatlös"></0>$

Någon som kan?

Stationära punkter ges av $\nabla f=0$

Din formel hjälper dig bara att avgöra vad det är för punkt du hittat, t.ex. max/min/sadel. Om den kvadratiska formen (vilket ditt program tycks utnyttja) är semidefinit kan man inte dra några omedelbara slutsatser om karaktären av den stationära punkten. Du får antingen utöka Taylorutvecklingen eller använda någon annan metod för att karaktärsbestämma punktsamlingen. Eller också nöjer du dig med att ange att du hittat kritiska punkter utmed hela y-axeln.

Edit: verkar ju vara något annat än att studera den kvadratiska formen du gör?

D4NIEL skrev:
Stationära punkter ges av $\nabla f=0$

Din formel hjälper dig bara att avgöra vad det är för punkt du hittat, t.ex. max/min/sadel. Om den kvadratiska formen (vilket ditt program tycks utnyttja) är semidefinit kan man inte dra några omedelbara slutsatser om karaktären av den stationära punkten. Du får antingen utöka Taylorutvecklingen eller använda någon annan metod för att karaktärsbestämma punktsamlingen. Eller också nöjer du dig med att ange att du hittat kritiska punkter utmed hela y-axeln.

Edit: verkar ju vara något annat än att studera den kvadratiska formen du gör?

Uppgiften är "Find and classify the critical points of the given functions", i facit skriver de att vi har en min punkt om (0,y) om y>0 och max om y<0, så skulle vilja vet hur det kom fram till det, de skriver också att origin är en sadelpunkt.

Cien skrev:
D4NIEL skrev:
Stationära punkter ges av $\nabla f=0$

Din formel hjälper dig bara att avgöra vad det är för punkt du hittat, t.ex. max/min/sadel. Om den kvadratiska formen (vilket ditt program tycks utnyttja) är semidefinit kan man inte dra några omedelbara slutsatser om karaktären av den stationära punkten. Du får antingen utöka Taylorutvecklingen eller använda någon annan metod för att karaktärsbestämma punktsamlingen. Eller också nöjer du dig med att ange att du hittat kritiska punkter utmed hela y-axeln.

Edit: verkar ju vara något annat än att studera den kvadratiska formen du gör?

Uppgiften är "Find and classify the critical points of the given functions", i facit skriver de att vi har en min punkt om (0,y) om y>0 och max om y<0, så skulle vilja vet hur det kom fram till det, de skriver också att origin är en sadelpunkt.

Det finns flera olika sätt att studera kritiska punkter. Ett sätt man brukar lära ut i Sverige är att använda den kvadratiska formen.

Ett annat närbesläktat sätt är att studera egenvärdena till matrisen

$a_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$

Om matrisen är positivt (semi)definit så har f ett lokalt minimum.

Om matrisen är negativt (semi)definit så har f ett lokalt maximum.

Om matrisen är indefinit så har f en sadelpunkt.

Klart är iaf att den formel du använder ger D=0 för alla y då x=0. Vilket betyder "resultatlös", dvs du måste finna en annan undersökningsmetod, t.ex. någon av metoderna jag nämner ovan.

Du skulle också kunna inse att funktionen är konstant utmed y-axeln och att du därför bara ska undersöka om derivatan är positiv eller negativ när du tar ett steg åt endera hållet i x-axelns riktning.

Cien skrev:
Någon som kan?

Det är inte tillåtet att bumpa sin tråd inom tjugofyra timmar efter att tråden postats, eller inom tjugofyra timmar efter trådens senaste inlägg. Att bumpa innebär att skriva ett inlägg som inte bidrar med mer information till tråden, exempelvis "Någon??". Bumpning gör trådar svårlästa. /moderator

Svara

Visa senaste svar