Hitta koordinater i planet

Insåg jag hade en ny fråga till en deluppgift i en tidigare tråd, så separerar dem här nu.

Kvadraten ABCD ligger i planet x+y+2z=4. Hörnen B(1,1,1) och D(3,1,0) hör till en av diagonalerna. Finn koordinaterna till A och C, under förutsättning att vinkeln mellan vektorerna $\bar{OA}$ och $\bar e_2 = (0,1,0)$ är trubbig (O är origo).

Osäker på hur jag ska tackla uppgiften för att få fram slutsvaret.

Har kommit fram till att längden av en diagonal är $\sqrt{5}$ och längden av en sida är $\sqrt{5/2}$ .

Undrar om man bör skriva planet på parameterform? Eller finns det något annat rimligt startsteg? Förstår det som att vinkeln mellan OA och e2 är mellan 90 och 180 grader, men vet inte hur detta ska hjälpa mig.

normalen till planet är (1,1,2), vilket ska vara lika med kryssprodukten av två av kvadratens vektorer.

ser också att $\bar{DB}x\bar n || \bar{CA}$

Med det sistnämnda tänkte jag att man skulle kunna addera 0.5 DB + 0.5 CA för att få A, men detta gav fel svar (varför går inte detta?).

Vad är ett rimligt steg att börja med?

Tillägg: Tänker att kvadraten har formen:

Det första steget är not att räkna ut koordinaterna för de två okända hörnen $A$ & $C$ .

Låt oss kalla kvadratens mittpunkt för $M$ och de okända hörnen för $X^{+}$ & $X^{-}$ .
Då följer att:
$M = B + \overset{⇀}{B M} = B + \frac{1}{2} \overset{⇀}{B D}$

och
$X^{+} = M + \overset{⇀}{M X} X^{-} = M - \overset{⇀}{M X}$

Vi vet att $\overset{⇀}{M X}$ är en vektor i planet som är räkvinklig mot diagonalen $\overset{⇀}{B D}$ .
Därför kan vi beräkna dess riktning genom att ta kryssprodukten mellan $\overset{⇀}{B D}$ och planets normalvektor.
Vi vet också att avståndet från mitten är samma till alla hörnen vilket betyder att:
$|\overset{⇀}{M X}| = |\overset{⇀}{B M}|$

Nu återstår bara att ta reda på om $A = X^{+}$ eller om $A = X^{-}$
Detta kan vi göra med hjälp av vinkel kriteriet.

Med vinkelkriteriet menar du

$\frac{\bar e_2 \cdot \bar{OA}}{|\bar e_2| | \bar{OA}|}$

där

$\alpha \geq \frac{\pi}{2}$

Svara