Hitta höjd där kullen är brantast

En kulle har en form som ges av

$z = \frac{32}{1 + x^{2} + y^{2}}$

där z är kullens höjd i m. På vilken höjd är kullen brantast?

Lösning:

Låt $z = f (x, y) = \frac{32}{1 + x^{2} + y^{2}}$ . Då är:

$\frac{\partial f}{\partial x} = - 2 \cdot \frac{32}{1 + x^{3} + y^{2}} = - \frac{64}{x^{3} + y^{2} + 1} \frac{\partial f}{\partial y} = - 2 \cdot \frac{32}{1 + x^{2} + y^{3}} = - \frac{64}{y^{3} + x^{2} + 1}$

och därmed är:

$g r a d f (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (- \frac{64}{x^{3} + y^{2} + 1}, - \frac{64}{y^{3} + x^{2} + 1})$ .

grad f(x,y) är den vektor som pekar i den riktning som f är brantast i punkten (a,b) och storleken ges av $|g r a d f| = \sqrt{{(\frac{\partial f}{\partial x} (a))}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial y} (b))}^{2}}$ . Så genom att hitta ett värde för (a,b) som ger grad f(a,b) störst värde hittar vi svaret. Vi får också svaret om vi hittar ett sådant värde för ${|g r a d f|}^{2} = {(\frac{\partial f}{\partial x} (a, b))}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial y} (a, b))}^{2} = {(\frac{64}{a^{3} + b^{2} + 1})}^{2} + {(\frac{64}{b^{3} + a^{2} + 1})}^{2}$ .

Men jag har svårt för att se hur jag ska hitta ett sådant värde.

Finns det något relativt enkelt sätt att hitta ett sådant värde eller har jag tänkt fel gällande hur jag bör lösa uppgiften?

Man kan se på formeln för z att kullen har formen av en cirkel, om man skär en skiva av den parallellt med xy-planet. Du kan alltså införa en variabel $r = \sqrt{x^2+y^2}$ så borde det bli enklare att derivera.

Smaragdalena skrev :
Man kan se på formeln för z att kullen har formen av en cirkel, om man skär en skiva av den parallellt med xy-planet. Du kan alltså införa en variabel $r = \sqrt{x^2+y^2}$ så borde det bli enklare att derivera.

I det fallet så räknar man ju inte på gradienten, utan på derivatan vilket också funkar. Boken ger dock som tips att bestämma var ${|g r a d z|}^{2}$ är störst. Så jag tänker att det kanske också finns ett annat sätt?

Jag trodde du ville få fram svaret till frågan du har skrivit i uppgiften. Varför vill du krångla till det för dig?

Vill du ta reda på var $|grad z|$ är störst, bör du väl derivera $|grad z|$ och sätta derivatan till 0.

Smaragdalena skrev :
Jag trodde du ville få fram svaret till frågan du har skrivit i uppgiften. Varför vill du krångla till det för dig?
Vill du ta reda på var $|grad z|$ är störst, bör du väl derivera $|grad z|$ och sätta derivatan till 0.

Uppgifterna tjänar ett syfte - delvis för att se till att man förstår teorin. Om bokens "tanke" bakom uppgiften är att lösa den på ett specifikt sätt för att nyttja en viss kunskap så kan det finnas bra anledning att förstå denna lösningsform. Kanske var bokens tanke att lösa uppgiften på ditt sätt - kanske inte. Jag vill bara se till att jag förbereder mig inför tentan så väl jag kan.

Jag håller på att räkna på uppgiften genom ditt sätt. Jag skriver när jag har försökt färdigt.

Höjden ges av $f(r,\varphi)=\frac{32}{1+r^2}$

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\hat{\varphi}=-\frac{64r}{(1+r^2)^2}\hat{r}$

$\left| \nabla f\right |_{max}$ erhålls då r>0 uppfyller $1+r^2=4r^2$ , dvs $r=\sqrt{\frac{1}{3}}$

$f(\sqrt{\frac{1}{3}})=24\mathrm{m}$

Edit: nu råkade jag kalla z för f, men jag orkar inte ändra överallt, sry.

Guggle skrev :
$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\hat{\varphi}=-\frac{64r}{(1+r^2)^2}\hat{r}$

Hej,

definitionen av $\nabla f$ är väl en vektor? I detta fallet blir ju vektorn på formen (a,0) dvs reellvärd men eftersom du skrev $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\hat{\varphi}$ så blev jag fundersam.

Stoffer skrev :
Hej,
definitionen av $\nabla f$ är väl en vektor? I detta fallet blir ju vektorn på formen (a,0) dvs reellvärd men eftersom du skrev $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\hat{\varphi}$ så blev jag fundersam.

De där bokstäverna med hatt ovanför sig betyder att det är normaliserade basvektorer. En vektor i polära koordinater $(r,\varphi)=(a,b)$ kan anges som $a\hat{r}+b\hat{\varphi}$ .

Gradienten av f (eller z) är negativ i $\hat{r}$ -led, det betyder att backen minskar i höjd med ökande r. dvs ju längre från origo vi går desto närmare marknivån kommer vi.

Stoffer skrev :
Smaragdalena skrev :
Jag trodde du ville få fram svaret till frågan du har skrivit i uppgiften. Varför vill du krångla till det för dig?
Vill du ta reda på var |gradz| |grad z| är störst, bör du väl derivera |gradz| |grad z| och sätta derivatan till 0.
Uppgifterna tjänar ett syfte - delvis för att se till att man förstår teorin. Om bokens "tanke" bakom uppgiften är att lösa den på ett specifikt sätt för att nyttja en viss kunskap så kan det finnas bra anledning att förstå denna lösningsform. Kanske var bokens tanke att lösa uppgiften på ditt sätt - kanske inte. Jag vill bara se till att jag förbereder mig inför tentan så väl jag kan.
Jag håller på att räkna på uppgiften genom ditt sätt. Jag skriver när jag har försökt färdigt.

Om avsikten är att man skall lösa uppgiften på något speciellt sätt brukar det stå angivet i uppgiften. Så ver inte fallet i den här uppgiften. Guggle är tydligen inne på samma väg som jag, att göra ett variabelbyte (även om jag inte var så tydlig).

Smaragdalena skrev :
Stoffer skrev :
Smaragdalena skrev :
Jag trodde du ville få fram svaret till frågan du har skrivit i uppgiften. Varför vill du krångla till det för dig?
Vill du ta reda på var |gradz| |grad z| är störst, bör du väl derivera |gradz| |grad z| och sätta derivatan till 0.
Uppgifterna tjänar ett syfte - delvis för att se till att man förstår teorin. Om bokens "tanke" bakom uppgiften är att lösa den på ett specifikt sätt för att nyttja en viss kunskap så kan det finnas bra anledning att förstå denna lösningsform. Kanske var bokens tanke att lösa uppgiften på ditt sätt - kanske inte. Jag vill bara se till att jag förbereder mig inför tentan så väl jag kan.
Jag håller på att räkna på uppgiften genom ditt sätt. Jag skriver när jag har försökt färdigt.
Om avsikten är att man skall lösa uppgiften på något speciellt sätt brukar det stå angivet i uppgiften. Så ver inte fallet i den här uppgiften. Guggle är tydligen inne på samma väg som jag, att göra ett variabelbyte (även om jag inte var så tydlig).

Poängen var att jag undrade huruvida det fanns ett annat sätt att lösa uppgiften på. Att vidga sina vyer är ju aldrig fel. Ofta kan det ge ännu större förståelse för teorin i fråga. I detta fallet så fanns ingen anledning att räkna ut ${|g r a d z|}^{2}$ utan endast $|g r a d z|$ . Detta får mig att misstänka att man kan räkna ut uppgiften på ett något annorlunda vis (även om det kanske inte är någon större skillnad). Nåväl, det viktigaste är att jag kan lösa den. Jag ville bara fråga om något annat sätt fanns, för att eventuellt utöka min förståelse.

Stoffer skrev:
Smaragdalena skrev :
Stoffer skrev :
Smaragdalena skrev :
Jag trodde du ville få fram svaret till frågan du har skrivit i uppgiften. Varför vill du krångla till det för dig?
Vill du ta reda på var |gradz| |grad z| är störst, bör du väl derivera |gradz| |grad z| och sätta derivatan till 0.
Uppgifterna tjänar ett syfte - delvis för att se till att man förstår teorin. Om bokens "tanke" bakom uppgiften är att lösa den på ett specifikt sätt för att nyttja en viss kunskap så kan det finnas bra anledning att förstå denna lösningsform. Kanske var bokens tanke att lösa uppgiften på ditt sätt - kanske inte. Jag vill bara se till att jag förbereder mig inför tentan så väl jag kan.
Jag håller på att räkna på uppgiften genom ditt sätt. Jag skriver när jag har försökt färdigt.
Om avsikten är att man skall lösa uppgiften på något speciellt sätt brukar det stå angivet i uppgiften. Så ver inte fallet i den här uppgiften. Guggle är tydligen inne på samma väg som jag, att göra ett variabelbyte (även om jag inte var så tydlig).
Poängen var att jag undrade huruvida det fanns ett annat sätt att lösa uppgiften på. Att vidga sina vyer är ju aldrig fel. Ofta kan det ge ännu större förståelse för teorin i fråga. I detta fallet så fanns ingen anledning att räkna ut ${|g r a d z|}^{2}$ utan endast $|g r a d z|$ . Detta får mig att misstänka att man kan räkna ut uppgiften på ett något annorlunda vis (även om det kanske inte är någon större skillnad). Nåväl, det viktigaste är att jag kan lösa den. Jag ville bara fråga om något annat sätt fanns, för att eventuellt utöka min förståelse.

Sitter ett år efter dig och funderar på samma sak, men fick inte du ngt svar där lär nog inte jag heller få det.

Svara

Visa senaste svar