4 svar
109 visningar
sannakarlsson1337 590
Postad: 18 dec 2020 17:15

Hitta gränser i området

jag ritar den såhär

 

och jag antar att vi är ute efter detta området som jag markerar med orange i bilden nedan:

Men undrar hur man ska veta vad det är för gränser av döma av bilden,,

Tomten 1827
Postad: 18 dec 2020 18:56

Vad jag kan se har du skissat korrekt.

Gränserna hittar du genom att först sätta ekv1 och ekv3 i ett ekv. system av andra graden. Därefter ekv1 och ekv4, ekv.2 och 3 och slutligen ekv.2 och 4. Eftersom alla potenser =2, blir systemen inte särskilt svåra att lösa, men däremot tämligen tidskrävande. Latmasken gör nedanstående något vågade fundering. Vore väldigt roligt om du kunde kontrollera med den metod som jag tror du redan har valt. Blir det övermäktigt och du har tillgång till facit är en dålig människa lätt förledd.

Låt integranden vara f(x,y). På grund av symmetrin är de fyra orangea delområdena du ritat kongruenta. Symmetrin medför också att absolutvärdet av f blir lika i motsvarande punkter i alla de fyra områdena. f växlar heller inte tecken inom något av områdena. Således blir integralen lika i de fyra områdena sånär som på tecken. Eftersom x2+3y2 >=9 är nämnaren i f alltid positiv. Integrandens tecken bestäms således helt av täljaren xy, som är positiv i första och fjärde kvadranten och negativ i andra och tredje. Integralen av f i de fyra områdena annullerar således varandra, varför integralen över hela D blir 0.

Mvh

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2020 23:14

Hej,

Det går bra att rita området D med en enda rad i Desmos.

Se nedanstående bild.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2020 23:28

Om du inför elliptiskt polära koordinater blir dubbelintegralen förhoppningsvis enklare att beräkna.

    x=rcosvx=r\cos v och y=13rsinvy=\frac{1}{\sqrt{3}}r \sin v

ger

    x2+3y2=r2x^2+3y^2 = r^2 där 3r123\leq r \leq \sqrt{12}

och

    y2-x2=r23(sin2v-3cos2v)=r23(1-4cos2v)y^2-x^2 = \frac{r^2}{3}(\sin^2 v - 3\cos^2 v)=\frac{r^2}{3}(1-4\cos^2 v)

som ger gränserna.

    3r21-4cos2v6r214-64r2cos2v14-34r2vMr\frac{3}{r^2}\leq 1-4\cos^2 v \leq \frac{6}{r^2}\iff \frac{1}{4}-\frac{6}{4r^2}\leq \cos^2 v \leq \frac{1}{4}-\frac{3}{4r^2}\iff v\in M_r.

Integranden blir

    xyx2+3y2=13sin2v\frac{xy}{x^2+3y^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\sin 2v

och differentialytelementet

    dxdy=r3drdvdxdy = \frac{r}{\sqrt{3}}\,drdv,

så integralen som ska beräknas kan skrivas som två itererade enkelintegraler.

    r=312r3·vMrsin2vdvdr\displaystyle\int_{r=3}^{\sqrt{12}}\frac{r}{3}\cdot \left\{\int_{v\in M_r}\sin 2v\,dv\right\}\,dr

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2020 23:35 Redigerad: 18 dec 2020 23:35

Den inre integralen beräknas till

    12cos2vvMr=12(2cos2v-1)vMr=34r2\displaystyle\left[\frac{1}{2}\cos 2v\right]_{v\in M_r} = \left[\frac{1}{2}(2\cos^2 v -1)\right]_{v\in M_r} =\frac{3}{4r^2}

som slutligen ger dubbelintegralen

    r=31214rdr=14ln123=14ln233.\displaystyle\int_{r=3}^{\sqrt{12}} \frac{1}{4r}\,dr =\frac{1}{4} \ln \frac{\sqrt{12}}{3} = \frac{1}{4}\ln\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Svara
Close