Hitta gemensam linje genom tre planer (Linjär Algebra)

Hej!

Tentapluggar och en fråga lyder följande:

Finns det något värde på a för vilket de tre planen har en rät linje gemensam? Bestäm i så fall för alla sådana a denna linjes ekvation på parameterform.

ax + y - z = 1
y + 2z = 7
x + z = 2

Som jag resonerade så tog jag normalvektorn av y+2z och x+z genom kryssprodukten av [0 1 2]^T och [1 0 1]^T. Om alla tre har en gemensam linje så måste denna normalvektor också delas med ax+y-z som linje i dess plan. Jag tog skalärprodukten av normalvektorn [1 2 1] med [a 1 -1] och löste ut när a fick ekvationen att bli 0, för att få linjen som finns på [a 1 -1] planet och vinkelrät till planets normalvektor.

Får slutgiltiga svar att a = -1 och linjen är [1 2 1] men svaret står att a = -3 och linjen är [-1 -2 1].

Vart tänkte jag fel?

UPDATE: lol, det var ett slarvfel. Var förvirrad dock eftersom facit säger att man ska använda determinanten för att lösa ut a för när det(tre vektorerna) = 0. Stod inget om normalvektor eller skalärprodukt. Tänkte då att det var fel på min metod.