Hitta funktionens asymptoter

Jag har en funktion $f(x) = \frac{x^2+3}{x-2}$

Jag kan enkelt bestämma asymptoten x = 2. Jag kan bestämma ytterligare en asymptot genom en omskrivning (addera och subtrahera 4 ifrån täljaren). Då kan jag få täljaren $x^2-4$ vilket jag kan skriva om som $(x+2)(x-2)$ och då återstår asymptoten $y = x+2$ . Det återstående bråket närmar sig 0 när x går mot oändligheten.

Nu till frågan. Jag har tidigare då jag bestämt asymptoter likt ovanstående kunnat dividera både täjare och nämnare med x, för att sedan fortsätta lösa uppgiften. Varför fungerar det inte med ovanstående funktion?

T.ex. om jag dividerar täljaren med x, då har jag i täljaren $x+\frac{3}{x}$ och i nämnaren $1 + \frac{5}{x}$ . Om x går mot oändligheten borde 5/x samt 3/x närma sig noll och kvar skulle jag ha $\frac{x}{1}$ , vilket inte är en asymptot, men vad i uträkningen/logiken är fel?

Du ska dividera täljaren och nämnaren med x²och inte x (högst polynomgrad).

I detta fall: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ . Vad händer med nämnaren om x går mot oändligheten och existerar en horizontell asymptot? Anta att x²- termerna innan parantesen är strukna...

NimaNima skrev:
Du ska dividera täljaren och nämnaren med x²och inte x (högst polynomgrad).

I detta fall: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ . Vad händer med nämnaren om x går mot oändligheten och existerar en horizontell asymptot? Anta att x²- termerna innan parantesen är strukna...

Hej, tack för ditt svar.

Yes, om jag dividerar med $x^2$ är funktionen inte definierad där, eller det blir helt enkelt att man delar med 0 då.

Men vad är det som säger att man skall dividera med högst polynomgrad? Är det en regel på något sätt? Jag antar att det finns någon logik bakom det hela som jag inte har begripit riktigt.

krydd skrev:
NimaNima skrev:
Du ska dividera täljaren och nämnaren med x²och inte x (högst polynomgrad).

I detta fall: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (1 + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ . Vad händer med nämnaren om x går mot oändligheten och existerar en horizontell asymptot? Anta att x²- termerna innan parantesen är strukna...

Hej, tack för ditt svar.

Yes, om jag dividerar med $x^2$ är funktionen inte definierad där, eller det blir helt enkelt att man delar med 0 då.

Men vad är det som säger att man skall dividera med högst polynomgrad? Är det en regel på något sätt? Jag antar att det finns någon logik bakom det hela som jag inte har begripit riktigt.

Så mycket som jag vet ska man helst undvika att få 0 i nämnaren, därav division med högsta polynomgradtal. (En tumregel som jag brukar använda mig av är att om täljarens gradtal är större än nämnarens så existerar ingen horizontell asymptot) Men om ngn annan har en bättre förklaring så kan ni ta över...

Jag förstår. Tack för din hjälp!

Svara

Visa senaste svar