Hitta formel??
Hej, jag behöver hjälp med denna uppgift:
Obs. Jag är på C. Jag har försökt hitta en formel i en evighet, men har inte lyckats. I uppgift b och c har jag alltså adderat alla trappsteg, men jag förstår att jag inte ska addera alla 100 trappsteg.
Det första steget är en ruta, det andra steget är två rutor, det tredje steget är tre rutor, osv. Det innebär att summan av etthundra trappsteg. Det ger summan . Kan du summera ihop det?
Smutstvätt skrev :Det första steget är en ruta, det andra steget är två rutor, det tredje steget är tre rutor, osv. Det innebär att summan av etthundra trappsteg. Det ger summan . Kan du summera ihop det?
Ska jag summera alla tal ända fram tills 100?
Smutstvätt skrev :Ja!
Ok, tack så mycket för hjälpen
1+2+3+•••••••+n= n× (n+1)÷2
1+2+3+••••••+100= 100×(100 +1) ÷2 = 10100÷2= 5050 and sa.
1+2+3+4+•••••+10= 10×(10+1)÷2=10×11÷2=110÷2=55
Hasham skrev :1+2+3+•••••••+n= n× (n+1)÷2
1+2+3+••••••+100= 100×(100 +1) ÷2 = 10100÷2= 5050 and sa.
1+2+3+4+•••••+10= 10×(10+1)÷2=10×11÷2=110÷2=55
Ok så formeln är (n+1)/2
n × (n+1 ) ÷ 2
rrt04 skrev :Hasham skrev :1+2+3+•••••••+n= n× (n+1)÷2
1+2+3+••••••+100= 100×(100 +1) ÷2 = 10100÷2= 5050 and sa.
1+2+3+4+•••••+10= 10×(10+1)÷2=10×11÷2=110÷2=55
Ok så formeln är (n+1)/2
Nej. Formeln är att summan S = n*(n+1)/2
Det som är bra här är att du inte behöver komma ihåg den utantill. Du kan enkelt resonera dig fram till formeln vid behov på följande sätt:
Om du t.ex. ska summera 10 tal S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 så kan du göra summan dubbelt så stor genom att addera samma termer en gång till:
2*S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
Samla nu ihop termerna två och två på följande sätt:
2*S=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)
Varje parentes har summan 11:
2*S=11+11+11+11+11+11+11+11+11+11
Det är 10 termer i högerledet:
2*S=10*11
Dividera med 2:
S=10*11/2
-----------
Den här metoden fungerar även då n = 100:
S=1+2+3+...+99+100
2S=1+2+3+...+99+100+1+2+3+...+99+100
2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(99+2)+(100+1)
2S=101+101+101+...+101+101
Det är 100 termer i högerledet:
2S=100*101
S=100*101/2
-------
Metoden fungerar även för godtyckligt värde på n: S=n*(n+1)/2
----------
Detta går även att visa grafiskt, vilket är precis vad d-uppgiften handlar om.
Yngve skrev :rrt04 skrev :Hasham skrev :1+2+3+•••••••+n= n× (n+1)÷2
1+2+3+••••••+100= 100×(100 +1) ÷2 = 10100÷2= 5050 and sa.
1+2+3+4+•••••+10= 10×(10+1)÷2=10×11÷2=110÷2=55
Ok så formeln är (n+1)/2
Nej. Formeln är att summan S = n*(n+1)/2
Det som är bra här är att du inte behöver komma ihåg den utantill. Du kan enkelt resonera dig fram till formeln vid behov på följande sätt:
Om du t.ex. ska summera 10 tal S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 så kan du göra summan dubbelt så stor genom att addera samma termer en gång till:
2*S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
Samla nu ihop termerna två och två på följande sätt:
2*S=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)
Varje parentes har summan 11:
2*S=11+11+11+11+11+11+11+11+11+11
Det är 10 termer i högerledet:
2*S=10*11
Dividera med 2:
S=10*11/2
-----------
Den här metoden fungerar även då n = 100:
S=1+2+3+...+99+100
2S=1+2+3+...+99+100+1+2+3+...+99+100
2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(99+2)+(100+1)
2S=101+101+101+...+101+101
Det är 100 termer i högerledet:
2S=100*101
S=100*101/2
-------
Metoden fungerar även för godtyckligt värde på n: S=n*(n+1)/2
----------
Detta går även att visa grafiskt, vilket är precis vad d-uppgiften handlar om.
Jag har inte jobbat med grafer än, så hur ska jag rita figuren grafiskt.
rrt04 skrev :Jag har inte jobbat med grafer än, så hur ska jag rita figuren grafiskt.
Pröva så här. Hur ser den sammansatta figuren ut? Vad har den för area (dvs hur många rutor innehåller den).
Yngve skrev :rrt04 skrev :Jag har inte jobbat med grafer än, så hur ska jag rita figuren grafiskt.
Pröva så här. Hur ser den sammansatta figuren ut? Vad har den för area (dvs hur många rutor innehåller den).
56 st rutor
rrt04 skrev :56 st rutor
Ja.
Vad har rektangeln för mått (bredd/höjd)?
Hur förhåller sig dessa mått till antalet trappsteg?
Ser du sambandet med min långa förklaring tidigare?
Yngve skrev :rrt04 skrev :56 st rutor
Ja.
Vad har rektangeln för mått (bredd/höjd)?
Hur förhåller sig dessa mått till antalet trappsteg?
Ser du sambandet med min långa förklaring tidigare?
Höjden är 7 rutor och bredden är 8 rutor. Jag är lite osäker när det komme till sambandet men jag tror att det är för att det stämmer med din formel.
rrt04 skrev :Yngve skrev :rrt04 skrev :56 st rutor
Ja.
Vad har rektangeln för mått (bredd/höjd)?
Hur förhåller sig dessa mått till antalet trappsteg?
Ser du sambandet med min långa förklaring tidigare?
Höjden är 7 rutor och bredden är 8 rutor. Jag är lite osäker när det komme till sambandet men jag tror att det är för att det stämmer med din formel.
Ja så är det.
En trappa som har 7 trappsteg bildar alltså tillsammans med en likadan trappa en rektangel som har måtten 7*8 rutor. Rektangelns area är 7*8 = 56 rutor och eftersom den består av exakt 2 trappor så måste varje trappa ha arean 56/2 = 28 rutor.
Eftersom vi även kan skriva arean för en trappa med 7 trappsteg som 1+2+3+4+5+6+7 så måste det gälla att 1+2+3+4+5+6+7 = (7*8)/2 = 28.
-------------------------
Detta gäller för alla trappor av samma slag.
Dvs en trappa med 14 trappsteg har arean (14*15)/2 = 105.
Det betyder att 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14 = (14*15)/2 = 105
------------------------
På samma sätt kan vi direkt säga att en trappa med n steg har arean n*(n+1)/2.
Det betyder att 1+2+3+4+...+(n-1)+n = n*(n+1)/2
--------------------------
Ser du hur trapporna passar in i varandra och att varje horisontell rad i den rektangel som bildas består av n+1 rutor? Detta motsvarar exakt mitt tidigare resonemang i detta svar.
---------------------------
Läs gärna om hur Carl Friedrich Gauss som 10-åring använde detta samband för att överraska sin matematiklärare!
Yngve skrev :rrt04 skrev :Yngve skrev :rrt04 skrev :56 st rutor
Ja.
Vad har rektangeln för mått (bredd/höjd)?
Hur förhåller sig dessa mått till antalet trappsteg?
Ser du sambandet med min långa förklaring tidigare?
Höjden är 7 rutor och bredden är 8 rutor. Jag är lite osäker när det komme till sambandet men jag tror att det är för att det stämmer med din formel.
Ja så är det.
En trappa som har 7 trappsteg bildar alltså tillsammans med en likadan trappa en rektangel som har måtten 7*8 rutor. Rektangelns area är 7*8 = 56 rutor och eftersom den består av exakt 2 trappor så måste varje trappa ha arean 56/2 = 28 rutor.
Eftersom vi även kan skriva arean för en trappa med 7 trappsteg som 1+2+3+4+5+6+7 så måste det gälla att 1+2+3+4+5+6+7 = (7*8)/2 = 28.
-------------------------
Detta gäller för alla trappor av samma slag.
Dvs en trappa med 14 trappsteg har arean (14*15)/2 = 105.
Det betyder att 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14 = (14*15)/2 = 105
------------------------
På samma sätt kan vi direkt säga att en trappa med n steg har arean n*(n+1)/2.
Det betyder att 1+2+3+4+...+(n-1)+n = n*(n+1)/2
--------------------------
Ser du hur trapporna passar in i varandra och att varje horisontell rad i den rektangel som bildas består av n+1 rutor? Detta motsvarar exakt mitt tidigare resonemang i detta svar.
---------------------------
Läs gärna om hur Carl Friedrich Gauss som 10-åring använde detta samband för att överraska sin matematiklärare!
Tack så hemskt mycket för hjälpen!!
