Hitta flux med Gauss

Hej, till uppgiften nedan har vi en region R med volym V, som tyder på att R är en sluten yta och att vi därmed kan använda oss av Gauss sats för att beräkna flödet.

Det står även att centrum för punkten är $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ , vilket inte har varit till någon hjälp för mig. Antar att jag missar viktig information här?

Som jag sa tidigare var volymen $V=\iiint_{R}dV$ vilket är väldigt lik VL i Gauss sats $\iiint_{R}divFdV= \iint_{S} F \bullet \hat{N} dS$ , kan jag utnyttja detta faktum på något sätt?

Edit: S ska vara den yta som är projektionen av R på xy-planet.

Utnyttja att:

$(x, y, z) = \frac{\underset{R}{∭} (x, y, x) d V}{V}$

$V = \underset{R}{∭} d V$ .

Tillägg: 26 jul 2023 18:45

PATENTERAMERA skrev:
Utnyttja att:

$(x, y, z) = \frac{\underset{R}{∭} (x, y, x) d V}{V}$

$V = \underset{R}{∭} d V$ .

Tillägg: 26 jul 2023 18:45

Tack. Vill gärna veta var detta kommer ifrån, inte sett detta uttryck någonsin. Gissar på att detta är något generellt samband, vet du vart man kan läsa mer om detta?

PATENTERAMERA skrev:
Utnyttja att:

$(x, y, z) = \frac{\underset{R}{∭} (x, y, x) d V}{V}$

$V = \underset{R}{∭} d V$ .

Tillägg: 26 jul 2023 18:45

Jag får lite vibbar av fysikens $\rho=\dfrac{m}{V}$ , så $m=\iiint_{R}\rho dV$ , har de något med detta att göra kanske. Vet att vi fått höra lite om masscentrum på någon föreläsning men när jag kollar anteckningar så hjälper det inte mig att göra kopplingen till det du skrev.

Den andra formeln är ju bara formellt hur vi kan beräkna volymen av en region R med en volymsintegral över R.

Den första formeln är definitionen av masscentrum om vi tänker oss konstant densitet (tex rho = 1).

PATENTERAMERA skrev:
Utnyttja att:

$(x, y, z) = \frac{\underset{R}{∭} (x, y, x) d V}{V}$

$V = \underset{R}{∭} d V$ .

Tillägg: 26 jul 2023 18:45

Jag förstår inte vad som menas med integranden i trippelintegralen

Integranden är $\vec{r}$ = (x, y, z) i första integralen och 1 i den andra.

Tillägg: 26 jul 2023 21:05

Tex så innebär detta att

$\underset{R}{∭} x d V = V \bar{x}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Integranden är $\vec{r}$ = (x, y, z) i första integralen och 1 i den andra.

Tillägg: 26 jul 2023 21:05

Tex så innebär detta att

$\underset{R}{∭} x d V = V \bar{x}$ .

Okej så i vårt fall så måste $\iiint_R F dV=V(2\bar{x}+4\bar{y}-2\bar{z}+6)$

Kom i håg att det skall stå divF i integralen, annars verkar det rätt.

Svara

Visa senaste svar