Hitta extrempunkt av funktion med konstant (parameter)

Jag har en uppgift som lyder:

Jag började lösa den genom att räkna ut dem partiella derivatorna av 'h' och jag får:

$h'_{x} = 2 (x + a y - 2)$ och $h'_{y} = 2 (a (x - 1) + 2 y^{3} + y)$

Sedan ville jag räkna ut vad dem partiella derivatorna blir i punkten (1, 0) (så att jag senare kan räkna ut för vilka värden på 'a' dem båda partiella derivatorna blir noll) men då får jag:

$h'_{x} (1, 0) = - 2$ och $h'_{y} (1, 0) = 0$

$h'_{y} (1, 0)$ är alltid noll i punkten (1, 0)... okej. Men för den andra partiella derivatan så får jag inget 'a' i högerledet, dvs $h'_{x} (1, 0)$ kan aldrig bli noll i punkten (1, 0) vilket betyder att extrempunkter inte kan existera i punkten (1, 0) (???).

Desto mer jag tänker på detta, desto mer ologiskt låter det. Det känns som att jag tänkt fel i hela min "metod". Var har jag tänkt fel någonstans? Hur är man EGENTLIGEN menad att lösa denna uppgift?

Din derivata med avseende på $x$ är fel. Det skall bli:

$h'_x(x,y)=2x+2ay-2$

AlvinB skrev:
Din derivata med avseende på $x$ är fel. Det skall bli:
$h'(x,y)=2x+2ay-2$

Ahh... jo du har rätt. Verkar ha gjort ett slarvfel. Då blir båda partiella derivator noll och jag får ändå inget 'a' i högerledet. Vilket måste betyda att det finns en stationär punkt i (1, 0) för alla 'a'. Det kan väl inte stämma... eller?

Hur fortsätter jag nu? Är jag nu menad att hitta andraderivatorna $h''_{x x}$ , $h''_{x y}$ och $h''_{y y}$ och sedan räkna ut kvadratiska formen $Q (h, k)$ i punkten (1, 0) och avgöra för vilka 'a' som den kvadratiska formen är positivt/negativt definit?

Jag får att: $Q (h, k) = 2 h^{2} + 2 a h k + 2 k^{2} = 2 (h^{2} + a h k + k^{2})$

Jag är på rätt spår va?

Jo, precis. Du tar fram den kvadratiska formen och undersöker dess teckenkaraktär. Dock har du väl slarvat på mittentermen, den borde bli $4ahk$ och inte $2ahk$ .

AlvinB skrev:
Jo, precis. Du tar fram den kvadratiska formen och undersöker dess teckenkaraktär. Dock har du väl slarvat på mittentermen, den borde bli $4ahk$ och inte $2ahk$ .

Ah... jo. Fan vad jag slarvar idag haha.

Tack!

Svara

Visa senaste svar