13 svar

143 visningar

Hitta explicit formel för en mycket intressant summa

Hej! För några månader sedan löste jag integralen
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{\cos x}{x^2 + 1}dx}$
En intressant integral att lösa med ett väldigt fint exakt värde, $\frac{\pi}e$ . Jag löste den med residykalkyl, men det går nog också genom att definiera en funktion och ta derivatan under integralen.

Efter jag löste den ville jag kolla på den mer generella integralen,
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{\cos x}{x^{2n} + 1}dx}$ , $n \in \mathbb{N}$ och $n\geq 1$
(udda exponenter kommer göra att integralen divergerar eftersom nämnaren blir $0$ vid $x=-1$ )
Om man använda residualkalkyl kan man få fram en summa som är lika med integralen. Det blir såhär:
$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{\cos x}{x^{2n} + 1}dx} = \frac{-\pi i}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{e^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n} + ie^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n}}}}$

Denna summa ser helt hemsk ut och jag har ingen aning om det går att hitta en explicit formel utan en summa. Wolframalpha verkar inte kunna lösa några integraler på denna form efter $n=3$

Resten av mitt inlägg är en liten härledning summan. Har ni några ideer på hur man kanske kan förenkla den/hitta en explicit formel?

Härledning

Notera att funktionen

\displaystyle \frac{\sin x}{x^{2n} + 1}

är udda.
Därför får vi att

\displaystyle \int\limits_{-R}^R{\frac{\sin x}{x^{2n} + 1}dx} = 0

för alla

R \in \mathbb{R}

Eller, med andra ord:

\displaystyle  \int\limits_{-R}^R{\frac{e^{ix}}{x^{2n} + 1}dx} =  \int\limits_{-R}^R{\frac{\cos x}{x^{2n} + 1}dx}

Betrakta integralen

\displaystyle \oint_\Gamma{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz}

Där

\Gamma

är en halvcirkel i den övre halvan av det komplexa talplanet med radie

R

. Där

R

är ett positivt reellt tal.

Vi kan dela upp denna integral i integralen längs den reella tallinjen och integralen längs halvcirkeln. Vi kan representera integralen längs halvcirkeln med variabelsubstitutionen

z = Re^{i\theta}

där

\theta \in [0, \pi]

(och då behöver vi även byta ut

dz

mot

d\theta

)
Alltså:

\displaystyle \oint_\Gamma{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz} = \int\limits_{-R}^R{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz} + \int\limits_0^\pi{\frac{e^{iRe^{i\theta}} \cdot iR e^{i\theta}}{R^{2n} e^{2n\theta i}+1}d\theta}

Om vi kollar på den andra integralen gäller det att

\displaystyle \int\limits_0^\pi{\frac{e^{iRe^{i\theta}} \cdot iR e^{i\theta}}{R^{2n} e^{2n\theta i}+1}d\theta} = \int\limits_0^\pi{\frac{e^{iR\cos{\theta} - R\sin{\theta}} \cdot iR e^{i\theta}}{R^{2n} e^{2n\theta i}+1}d\theta}\leq\int\limits_0^\pi{\left|\frac{e^{iR\cos{\theta} - R\sin{\theta}} \cdot iR e^{i\theta}}{R^{2n} e^{2n\theta i}+1}d\theta \right|}

Eftersom

|i| = 1

och

\left|e^{i\theta} \right| = 1

och

\left|e^{Ri \cos{\theta}} \right| = 1

får vi att

\displaystyle \int\limits_0^\pi{\left|\frac{e^{iR\cos{\theta} - R\sin{\theta}} \cdot iR e^{i\theta}}{R^{2n} e^{2n\theta i}+1}d\theta \right|} =\int\limits_0^\pi{\left|\frac{e^{- R\sin{\theta}} \cdot R}{R^{2n} e^{2n\theta i}+1}d\theta \right|}

Om vi kollar på uttrycket innanför integralen ser vi att

\displaystyle \left|e^{-R\sin{\theta}}\right| \leq 1

Därför gäller det att

\displaystyle \int\limits_0^\pi{\left|\frac{e^{- R\sin{\theta}} \cdot R}{R^{2n} e^{2n\theta i}+1}d\theta \right|} \to 0

när

R \to \infty

.
Då går även den ursprunliga integralen mot 0.

Vi har alltså likheten

\displaystyle \oint_\Gamma{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz} = \int\limits_{-R}^R{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz}

när

R \to \infty

Alltså

\displaystyle \lim_{R \to \infty}{\oint_\Gamma{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz}} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos x}{x^{2n}+1}dx}

Vi kan beräkna den komplexa integralen med residysatsen.

\displaystyle \frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}

har poler där

z^{2n} +1 = 0

.
Då får vi att

\displaystyle z^{2n} = e^{\pi i + 2 \pi i k}

för något

k \in \mathbb{Z}

Alltså

\displaystyle z = e^{\frac{\pi i}{2n} + \frac{\pi i k}{n}}

Vi vill ha alla poler i den övre halvan av det komplexa talplanet, vilket gör att

0 \leq k \leq n-1

Vi döper

\displaystyle z_k = e^{\frac{\pi i}{2n} + \frac{\pi i k}{n}}

och

f(z)

\displaystyle = \frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}

Då får vi att

\displaystyle \oint_\Gamma{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz} = 2 \pi i\sum_{k=0}^{n-1}{\text{Res}(f(z),z_k)}

Eftersom alla poler till

f

är enkla poler är residyn relativt att beräkna.

\text{Res}(f(z),z_k)

\displaystyle = \lim_{z \to z_k}{\frac{e^{iz}}{2n z^{2n-1}}} =\frac{e^{iz_k}}{2n z_k^{2n-1}}=\frac{e^{ie^{\frac{\pi i}{2n} + \frac{\pi i k}{n}}}}{2n e^{(2n-1)\left(\frac{\pi i}{2n} + \frac{\pi i k}{n}\right)}}

Vi kan förenkla till

\text{Res}(f(z),z_k)

\displaystyle = \frac{-1}{2n}e^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n} + ie^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n}}}

Helt hemskt värde!
Iallafall, vi får alltså:

\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{\cos x}{x^{2n}+1}dx}=\oint_\Gamma{\frac{e^{iz}}{z^{2n}+1}dz} = 2\pi i\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{-1}{2n}e^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n} + ie^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n}}}}

\displaystyle = \frac{-\pi i}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{e^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n} + ie^{\frac{\pi i + 2\pi k i}{2n}}}}

och vi är klara.

Lite arbete jag testat:

Jag kollade vad integralen blir för $x^4$ och $x^6$ på wolfram alpha (den kan inte beräkna högre än 6)
Vi får:
$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{\cos x}{x^4 + 1}dx} = \pi \frac{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)}+\cos{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)}}{\sqrt 2 e^{\frac{1}{\sqrt 2}}}$

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{\cos x}{x^6 + 1}dx} = \pi \frac{1+\sqrt{3e}\sin{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)}+\sqrt{e}\cos{\left(\frac{\sqrt 3}{2}\right)}}{3 e}$
Det finns några intressanta mönster. Exempelvis verkar argumentet till de trigonometriska funktionerna vara $\cos{\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$ . (Detta kan rimligtvis också hålla $n=1$ ).
Uttrycket för $x^6$ överraskade mig dock, eftersom det kom olika koefficienter framför de trigonometriska funktionerna.
Det kanske går att gissa sig fram till värdet och bevisa det med induktion. Det jobbiga är den extra ettan som dök upp i integralen för $x^6$ . Det gjorde det svårare att tänka på ett intuitivt mönster för exponenten av $e$ . Vi kanske kan slå ihop alla tal i nämnaren med summaformler för sinus och cosinus. Men igen, kommer det bli några fina tal där uppe eftersom de trigonometriska formlerna skiljer sig mot ettan med en faktor av $\sqrt e$

Har ni några ideer?

Det är säkert kopplat till de punkter där funktionen inte är analytisk. Enligt algebrans fundamentalsats kan man faktorisera $x^{2 n} + 1$ i 2n faktorer.

Man behöver lösa ekvationen $x^{2 n} + 1 = 0$

eller med andra ord hitta alla rötter av -1: $\sqrt[2 n]{- 1}$

$- 1 = \cos π + i \sin π = e^{i π}$

$\sqrt[2 n]{- 1} = e^{\frac{i π + 2 π k}{2 n}} d ä r k = 0, 1, 2, . . ., 2 n - 1$

Jag vet inte om det kommer att behövas men hälften av dem är konjugat till talen den andra hälften.

(Känner mig lite trött för residykalkyl)

MaKe skrev:
Det är säkert kopplat till de punkter där funktionen inte är analytisk. Enligt algebrans fundamentalsats kan man faktorisera $x^{2 n} + 1$ i 2n faktorer.

Man behöver lösa ekvationen $x^{2 n} + 1 = 0$

eller med andra ord hitta alla rötter av -1: $\sqrt[2 n]{- 1}$

$- 1 = \cos π + i \sin π = e^{i π}$

$\sqrt[2 n]{- 1} = e^{\frac{i π + 2 π k}{2 n}} d ä r k = 0, 1, 2, . . ., 2 n - 1$

Jag vet inte om det kommer att behövas men hälften av dem är konjugat till talen den andra hälften.

(Känner mig lite trött för residykalkyl)

Det är det jag gjorde för att få fram summan från början, inne i spoilern. Det finns säkert någon symmetri för att få bort en del termer, särskilt eftersom summan måste bli ett reellt tal.

Kanske är ute och cyklar, men det kan vara användbart att förenkla termerna i summan. Till råga

$S = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} e^{i ( \pi(2k+1)/2n + e^{i \pi(2k+1)/2n} )}$

är ett rent imaginärt tal, är man egentligen ute efter imaginärdelen av $S$ . Så

$\Im \left(e^{i ( \pi(2k+1)/2n + e^{i \pi(2k+1)/2n} )}\right) = \Im \left( \sin \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + e^{i \pi(2k+1)/2n} \right)\right) = \Im \left( \sin \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} + i \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\right) = \\ \Im \left( \sin \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\cos \left(i \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right) + \sin \left(i \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right) \cos \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\right).$

Använder man hyperboliska funktionerna $\cos iz= \cosh z$ och $\sin iz = i \sinh z$ får man tillslut

$\Im \left(e^{i ( \pi(2k+1)/2n + e^{i \pi(2k+1)/2n} )}\right) = \cos\left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\sinh\left( \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right).$

Jag vet inte riktigt om det går att ytterligare förenkla

$\frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\sinh\left( \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right).$

Jag försökte manuellt beräkna summan för n=4. Det tog.. ett tag.. fick inte ett snyggt uttryck som wolfram alpha gav för de första två. Men detta är vad jag fick fram:
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos x}{x^8+1}dx} =$

$\frac{\pi}{4}\left(e^{-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\left(\cos\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)\cdot\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sin\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)+e^{-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\left(\cos\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sin\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)\right)$

Detta uttryck borde stämma? Jag tror inte jag gjorde några algebraiska fel. Jag vet inte om det går att förenkla ytterligare. Det finns en snygg symmetri i uttrycket, men exponenterna av e är jobbiga att ha koll på. Jag testade även att lägga in detta uttryck på flera olika räknare men ingen lyckades förenkla det.

Darth Vader skrev:
Kanske är ute och cyklar, men det kan vara användbart att förenkla termerna i summan. Till råga

$S = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} e^{i ( \pi(2k+1)/2n + e^{i \pi(2k+1)/2n} )}$

är ett rent imaginärt tal, är man egentligen ute efter imaginärdelen av $S$ . Så

$\Im \left(e^{i ( \pi(2k+1)/2n + e^{i \pi(2k+1)/2n} )}\right) = \Im \left( \sin \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + e^{i \pi(2k+1)/2n} \right)\right) = \Im \left( \sin \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} + i \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\right) = \\ \Im \left( \sin \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\cos \left(i \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right) + \sin \left(i \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right) \cos \left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\right).$

Använder man hyperboliska funktionerna $\cos iz= \cosh z$ och $\sin iz = i \sinh z$ får man tillslut

$\Im \left(e^{i ( \pi(2k+1)/2n + e^{i \pi(2k+1)/2n} )}\right) = \cos\left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\sinh\left( \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right).$

Jag vet inte riktigt om det går att ytterligare förenkla

$\frac{\pi}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left( \frac{\pi(2k+1)}{2n} + \cos \frac{\pi(2k+1)}{2n} \right)\sinh\left( \sin \frac{\pi(2k+1)}{2n}\right).$

Jag tänkte på något liknande men var osäker om det skulle hjälpa. Ska kolla lite på ditt uttryck!

Okej, så jag testade lite och det visade sig att det var ett misstag i formeln. När vi utvecklar
$\displaystyle e^{i\left(\frac{\pi(2k+1)}{2n} + e^{\frac{i\pi(2k+1)}{2}}\right)}$
med eulers formel kommer cosinustermen också ha en imaginärdel.
Om vi tar det till hänsyn och förenklar får vi:
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi\left(2k+1\right)}{2n}+\cos\left(\frac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\right)}$

Summan blir då
$\displaystyle\frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{\sin\left(\frac{\pi\left(2k+1\right)}{2n}+\cos\left(\frac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\right)}}$

Summan verkar bygga mycket på symmetri. De sista värdena verkar vara samma som de första värdena, vilket är logiskt. Man kan nog därför skriva det som en summa som går till halva distansen som summan ovan. Tvekar på att det är särskilt hjälpsamt

Jag testade igen att beräkna summan för $n=4$ med denna istället. Då får man följande
$\displaystyle\frac{\pi}{2}\left(e^{-\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)}\sin\left(\frac{\pi}{8}+\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)+e^{-\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)}\sin\left(\frac{3\pi}{8}+\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right)\right)$
Man får ett större, men ändå kanske snyggare uttryck om man byter ut de trigonometriska funktionerna mot deras exakta värden:
$\displaystyle\frac{\pi}{4}e^{-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)+\sqrt{2+\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)\right)$
$\displaystyle+\frac{\pi}{4}e^{-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)+\sqrt{2-\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)\right)$

Ingen aning om det finns något enkelt sätt att förenkla dessa uttryck. Ser inte något intuitivt pga de där jobbiga exponenterna av $e$ . Jag började jobba på det här igen alldeles för sent också! Måste sova. Är nog lite för trött för att se en hel del saker. Jag kommer testa att beräkna $n=3$ fallet för hand och se om det är lätt att få fram det exakta värdet som vi får från wolframalpha. Kanske kan ge lite inspiration på hur man kan förenkla uttrycket ovan.

Nu har jag lärt mig integrera med SageMath... och testade $\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\cos x}{x ⁸ + 1} d x$ .

Uttrycket är minst sagt hemskt

Visa spoiler

$\frac{16 ((- (i + 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (21 i + 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (7 i + 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i - 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i - 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (i - 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \cos (\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + ((i - 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i - 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i - 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i + 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i + 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (i + 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \cos (- \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + 2 (i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 21 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 7 i π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 7 π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 21 π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})}) \cos (\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2}) - 2 (π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 7 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 21 i π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + i π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \cos (\frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + ((i - 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i - 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i - 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i + 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i + 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (i + 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \sin (\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + ((i + 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i + 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i + 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (7 i - 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (21 i - 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (i - 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \sin (- \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) - 2 (π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 21 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 7 π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - 7 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - 21 i π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + i π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})}) \sin (\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2}) + 2 (i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 i π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \sin (\frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}))}{{(\sqrt{2} + 2)}^{7} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 7 {(\sqrt{2} + 2)}^{6} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 {(\sqrt{2} + 2)}^{5} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 35 {(\sqrt{2} + 2)}^{4} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 {(\sqrt{2} + 2)}^{3} {(\sqrt{2} - 2)}^{4} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 21 {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(\sqrt{2} - 2)}^{5} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 (\sqrt{2} + 2) {(\sqrt{2} - 2)}^{6} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - {(\sqrt{2} - 2)}^{7} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}}$

MaKe skrev:
Nu har jag lärt mig integrera med SageMath... och testade $\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\cos x}{x ⁸ + 1} d x$ .

Uttrycket är minst sagt hemskt

Visa spoiler

$\frac{16 ((- (i + 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (21 i + 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (7 i + 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i - 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i - 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (i - 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \cos (\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + ((i - 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i - 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i - 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i + 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i + 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (i + 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \cos (- \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + 2 (i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 21 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 7 i π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 7 π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 21 π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})}) \cos (\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2}) - 2 (π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 7 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 21 i π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + i π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \cos (\frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + ((i - 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i - 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i - 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i + 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i + 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (i + 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \sin (\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) + ((i + 1) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (21 i + 21) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i + 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (7 i + 7) \sqrt{2} π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (7 i - 7) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (35 i - 35) \sqrt{2} π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - (21 i - 21) \sqrt{2} π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + (i - 1) \sqrt{2} π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \sin (- \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}) - 2 (π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 21 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 7 π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - 7 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} - 21 i π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})} + i π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2})}) \sin (\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2}) + 2 (i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 i π {(\sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 i π \sqrt{\sqrt{2} + 2} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 π {(\sqrt{2} + 2)}^{3} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 35 π {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 π (\sqrt{2} + 2) {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - π {(- \sqrt{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}) \sin (\frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2}))}{{(\sqrt{2} + 2)}^{7} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 7 {(\sqrt{2} + 2)}^{6} (\sqrt{2} - 2) e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 21 {(\sqrt{2} + 2)}^{5} {(\sqrt{2} - 2)}^{2} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 35 {(\sqrt{2} + 2)}^{4} {(\sqrt{2} - 2)}^{3} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 35 {(\sqrt{2} + 2)}^{3} {(\sqrt{2} - 2)}^{4} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - 21 {(\sqrt{2} + 2)}^{2} {(\sqrt{2} - 2)}^{5} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} + 7 (\sqrt{2} + 2) {(\sqrt{2} - 2)}^{6} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})} - {(\sqrt{2} - 2)}^{7} e^{(\frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{4} \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2})}}$

Jag undrar hur de får fram detta värde. Det intressanta är att det finns en massa komplexa tal i resultatet som i så fall måste ta ut varandra. Mycket hemskt värde!

Vet inte, det är ett avancerat CAS. Jag testade med lägre exponenter och fick samma uttryck som du på Wolfram. Har kört med x^10, men datorn har tuggat nu i 5,5 tim utan något svar.

Det är troligt att $x^4$ och $x^6$ är undantag, jag testade att beräkna dem manuellt och det är superlätt i jämförelse med $x^8$ . Wolframs värden följer på ett mycket enkelt sett och det har mycket att göra med exponenterna av $e$ .
För $x^4$ fallet blir summan (från den andra formeln). Här ignorerar jag också faktorn av $\frac{\pi}{n}$ i början av summan.
$\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{4}+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}+\sin\left(\frac{3\pi}{4}+\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)}$
Men eftersom $\sin\frac{\pi}4 = \sin\frac{3\pi}4$ kan vi faktorisera ut exponenten av $e$ och helt enkelt beräkna insidan med additionsformlerna.

För $x^6$ blir summan
$\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{6}+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}+\sin\left(\frac{3\pi}{6}+\cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right)}+\sin\left(\frac{5\pi}{6}+\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}$
Här har vi att $\sin\frac{\pi}6=\sin\frac{5\pi}6$ och då kan faktorisera ut exponenten av $e$ ur den första och sista termen. Sedan, eftersom mittentermens argument blir $\frac\pi2$ så förenklas den på ett fint sätt till $\frac 1e$ . Sedan har de andra termerna faktorn $e^{\frac{1}{\sqrt 2}}$ . Vilket är en rätt "enkel" exponent i jämförelse med det som kommer på den nästa summan.

Sådan här tur finns inte för $x^8$ .
$\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{8}+\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)}+\sin\left(\frac{3\pi}{8}+\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)}+\sin\left(\frac{5\pi}{8}+\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)}$
$\displaystyle+\sin\left(\frac{7\pi}{8}+\cos\left(\frac{7\pi}{8}\right)\right)e^{-\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right)}$
Visserligen är exponenterna av e samma för den första och sista termen, och för den andra och tredje termen. Men efter det verkar det inte finnas särskilt mycket att göra för att få en snyggt, enkelt uttryck. Särskilt eftersom exponenterna av $e$ blir $\frac{\sqrt{2 + \sqrt 2}}2$ och $\frac{\sqrt{2 - \sqrt 2}}2$ . De har väl en omvandling till varandra med hjälp av trigonometriska ettan men jag vet inte om vi kan göra något med det.

Med tanke på att både jag och andra inte kan förenkla uttrycken efter $x^8$ och att program inte heller kan göra det är det nog troligt att det inte finns en "snygg" formel för integralen :(

Jag fick inget svar i Sage Math för x¹⁰ - efter 9 timmar avbröts uträkningarna (försökte några gånger).

MaKe skrev:
Jag fick inget svar i Sage Math för x¹⁰ - efter 9 timmar avbröts uträkningarna (försökte några gånger).

Tack för att du tog din tid och testade!

Svara

Visa senaste svar