Hitta ett a och b för det linjära ekvationssystemet.

Har du jobbat med determinanter tidigare? :)

Nej, vi har inte gått igenom det än.

Hmmm, ja då blir det lite knepigare. Det gäller att ett ekvationssystem har lösningar om det inte finns två ekvationer som motsäger varandra. Ekvationssystemet 

$\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x+y=5\end{array}\right.$

har ju ingen lösning, eftersom $x+y$ bara kan ha ett värde. 

Vi kan se om vi kan meka lite med ekvationerna, så att vi kan hitta värden på a och b så att vi får två ekvationer som motsäger varandra. Vi kan börja med a. Vi kan notera att ekvation ett och två är ganska lika varandra, men med motsatt tecken. Vi kan prova att byta tecken på ekvation två, och se om vi blir lite klokare av det.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}ax+y-z=a \\ -\left(x-y+z\right)=-0\\ by+z=a\end{array}\right.~\left\{\begin{array}{l}ax+y-z=a \\ -x+y-z=0\\ by+z=a\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hmmm ja, jo det kanske gjorde oss lite klokare! Vad händer om vi sätter in några olika värden på a? När får vi en motsägelse?

Hej,

Följande radoperationer reducerar totalmatrisen 

    $\begin{pmatrix}a&1&-1&\vert&a\\1&-1&1&\vert&0\\0&b&1&\vert&a\end{pmatrix}$

till totalmatrisen 

    $\begin{pmatrix}0&(1+b)(1+a)&0&\vert&a(2+a)\\(1+a)&0&0&\vert&a\\0&b(1+a)&1+a&\vert&a(1+a)\end{pmatrix}.$

$(-a)\cdot \text{Rad 2}+\text{Rad 1}$ följt av $(1+a)\cdot\text{ Rad 1}$ följt av $\text{Rad 1} +\text{ Rad 2}$ följt av $(1+a)\cdot\text{ Rad 3} +\text{ Rad 1}$.

Den reducerade totalmatrisen visar att om $1+a=0$ eller om $1+b=0$ så saknar systemet lösning. Detta betyder att för att systemet ska ha en eller flera lösningar måste man kräva att både $1+a\neq 0$ och att $1+b\neq 0.$

Om $1+a\neq 0$ och $1+b\neq 0$ så kan den reducerade totalmatrisen skrivas 

    $\begin{pmatrix}1&0&0&\vert&\frac{a}{1+a}\\0&1&0&\vert&\frac{a(2+a)}{(1+b)(1+a)}\\0&b&1&\vert&a\end{pmatrix}$