Hitta entalssiffran i ett jätte stort tal

Jag har väldigt svårt att fatta hur man gör man när man räknar ut entalssiffran. Känns som att man får komma på det själv. Och jag har frågat om detta 2-3 gånger men förstår fortfarande inte för det verkar finnas så många vägar att gå.
Men jag har hittat ett sätt nu som jag vill fråga är korrekt sätt att tänka.

tex jag ville beräkna slutsiffran i 17^9 så tänker jag att jag alltid vill ha rest 1 eller -1. För jag jobbar utan räknare. Så då använder jag (mod18) för att få rest -1. Sedan skriver jag om uttrycket till 17*(17^8) kongruent 17*(-1^8) (mod18). 17*1=17 slut siffran är 7. Vilket är sant.

eller om jag ska beräkna slutsiffran för 7^12 då använder jag (mod8) ger -1 i rest. 7^12 skriver jag om till (-1)^12=1 ger slutsiffra 1. Vilket är sant

sedan har jag testat detta sätta för fler andra stora tal. Och det har funkat än så länge. Men är detta ett korrekt sätt att tänka?

För att få fram slutsiffran så brukar man använda (mod 10) vilket jag tror att du kan tjäna på i längden.
De exempel du tar upp ser ut att stämma, men de är relativt enkla.

Om vi tar 477⁴² så blir det lite mer komplicerat. Använder vi (mod 10) så har vi direkt att

$477^{42} \equiv 7^{42}$ här kan vi inte övergå till (mod 8) då får vi fel svar. Däremot kan vi skriva om det till

${(7^{2})}^{21}$ och eftersom

$49 \equiv 9$ (mod 10) kan vi skriva det som

$9^{21} \equiv {(- 1)}^{21} (m o d 10)$ och slutsiffran är alltså 9 eftersom

$9 \equiv - 1 (m o d 10)$

Svara