Hitta en primitiv

Hej!
Jag sitter och är riktigt frustrerad på en funktion som jag ska hitta en primitiv till

$\int \frac{1}{\sqrt{x + x^{3}}} d x$

Jag faktorisera lite

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Här vet jag inte riktigt vad jag ska göra men jag försöker partialintegrera, jag letar först upp en primitiven

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Jag gör variabelbytet $t = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Efter lite räknande kommer jag fram till att

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = \ln |x + \sqrt{x^{2} + 1}| + C$

Så min partialintegration:

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x^{2} + 1}} d x = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \ln |x + \sqrt{x^{2} + 1}| - \int 2 \sqrt{x} \ln |x + \sqrt{x^{2} + 1}|$

Det ser svårt ut tänkte jag så jag vände på det:

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x^{2} + 1}} d x = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \int \frac{2 \sqrt{x} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

vilket inte heller gör det lättare.
Jag har suttit i några timmar nu och kommer ingenstans.
Jag hade verkligen uppskattat lite hjälp.
Tack

Har du verkligen skrivit rätt?

Instämmer, kan du ta en bild av uppgiften, tack?

Skulle egentligen kontrollera om den generaliserade integralen $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x + x^{3}}} d x$

är konvergent.
Vill kontrollera detta genom att först ta fram en primitiv och sen göra ett gränsvärde.
Med tanke på kommentarerna så känns det som om jag borde välja en helt annan metod.

Problemet är att du inte kommer kunna integrera den. Kan du någon eller några lämpliga satser vi kan använda för att ta reda på om integralen måste vara konvergent eller divergent?

För att få en bra gissning brukar jag börja med att kolla vilken gradskillnad du har mellan täljare och nämnare. I oändligheten är termen med högst grad intressantast.

täljare grad 0

nämnare 3/2

skillnaden är större än 1, så gissa konvergent och avrunda uppåt, tex till 1/rot(x3)

Jag skulle kunna testa ett instängnings argument.
Dock är jag nyfiken på hur ni direkt kunde sa att denna funktion inte gick att integrera?

Det är nog bara erfarenhet det handlar om, eller googla. Du behöver bara uppskatta åt ett håll när du vill avgöra konvergens, men nästan som instängning.

Svara

Visa senaste svar