Hitta en linje som är vinkelrät mot parabel

Hej!

jag undrar om det finns ett sätt att hitta en linje som alltid är vinkelrät mot en parabel. Jag har funderat lite själv men vet inte om det stämmer.

Om vi har en allmän andragradsekvation $y (x) = a x^{2} + b x + c$ , så tänkte jag att ett bra första steg var att ta derivatan. Det ger då $y' (x) = 2 a x + b$ .

Det innebär att lutningen i en given x-punkt är $y' (x)$ . Om två linjer ska vara vinkelräta mot varandra blir deras lutningar gånger varandra lika med -1, och det borde väl inte vara annorlunda här, eller?

$k (2 a x + b) = - 1 k = \frac{- 1}{2 a x + b}$

Då får man alltså en funktion $g (x) = \frac{- 1}{2 a x + b} + m$ , där $m$ ges av $g (y (x))$ .

Jag är inte riktigt säker på om det här fungerar, och jag tror inte det gör det. Det verkar lite orimligt att en linje skulle kunna vara vinkelrät mot en parabel. Är det ens möjligt?

Bra och intressant fråga!

Du tänker rätt men råkade skriva fel på ett ställe.

Om y(x) = ax²+bx+c så är derivatan mycket riktigt y'(x) = 2ax+b.

Det stämmer även att parabelns lutning vid ett givet x-värde är 2ax+b.

Du ser att lutningen beror på x och vi kan därför inte hitta en rät linje som är vinkelrät mot parabeln överallt.

Men vi kan absolut komma fram till en ekvation g(x) = kx+m för den räta linje som är vinkelrät mot parabeln i punkten (x, y(x)).

Vi har då, precis som du skriver, att k(2ax+b) = -1, vilket ger oss k = -1/(2ax+b).

Utvikning:

Vi ser nu att om nämnaren i HL är 0 så blir det uttrycket odefinierat.
En bra uppgift för dig är att fundera på varför det blir så, hur vi ska hantera det och hur det kan kopplas till parabelns ekvation.

Vi har nu att g(x) = -(1/(2ax+b))x+m, där m ges av att punkten (x, y(x)) ligger på linjen.

(Det var här du råkade skriva fel.)

Yngve skrev:
Bra och intressant fråga!

Du tänker rätt men råkade skriva fel på ett ställe.

Om y(x) = ax²+bx+c så är derivatan mycket riktigt y'(x) = 2ax+b.

Det stämmer även att parabelns lutning vid ett givet x-värde är 2ax+b.

Du ser att lutningen beror på x och vi kan därför inte hitta en rät linje som är vinkelrät mot parabeln överallt.

Men vi kan absolut komma fram till en ekvation g(x) = kx+m för den räta linje som är vinkelrät mot parabeln i punkten (x, y(x)).

Vi har då, precis som du skriver, att k(2ax+b) = -1, vilket ger oss k = -1/(2ax+b).

Utvikning:

Vi ser nu att om nämnaren i HL är 0 så blir det uttrycket odefinierat.

En bra uppgift för dig är att fundera på varför det blir så, hur vi ska hantera det och hur det kan kopplas till parabelns ekvation.

Vi har nu att g(x) = -(1/(2ax+b))x+m, där m ges av att punkten (x, y(x)) ligger på linjen.

(Det var här du råkade skriva fel.)

Oj, där ser man! Tack för att du påpekade felskrivningen.

Ett exempel nu för att se att det stämmer. Säg att andragradsekvationen är $y (x) = 4 x^{2} + 2 x + 2$ där $x = 2$ .

Då blir $k = \frac{- 1}{2^{4} + 2}$ .

Därav följer att: $g (x) = \frac{- 1}{18} x + m$ . Vi vet att linjen kommer skära punkten $(2, 22)$ och vi kan därmed bestämma $m$ .

$22 = \frac{- 2}{18} + m m = 22 + \frac{1}{9} = \frac{199}{9}$

$\Rightarrow g (x) = \frac{- 1}{18} x + \frac{199}{9}$ .

Det ser i alla fall ut som att g(x) är vinkelrät mot y(x) i punkten (2, 22):

Tillägg: 4 sep 2022 20:24

Vi ser nu att om nämnaren i HL är 0 så blir det uttrycket odefinierat.
En bra uppgift för dig är att fundera på varför det blir så, hur vi ska hantera det och hur det kan kopplas till parabelns ekvation.

Jag ska ponera detta och återkomma om jag har funderingar.

jag flyttar tråden till matte 3 då derivator inte kommer förrän då. :)

naytte skrev:

Ett exempel nu för att se att det stämmer. Säg att andragradsekvationen är $y (x) = 4 x^{2} + 2 x + 2$ där $x = 2$ .

...

...

$\Rightarrow g (x) = \frac{- 1}{18} x + \frac{199}{9}$ .

Ja det stämmer. Bra!

Svara

Visa senaste svar