11 svar

228 visningar

woozah behöver inte mer hjälp

Hitta en extremal till en funktional

Hallåe!

Jag har ett problem med en uppgift jag har liggandes, nämligen att hitta en extremal till en funktional. Uppgiften lyder:

Let $J$ be a functional of the form

$J(y)=\int_{x_0}^{x_1}g(x^2+y^2)\sqrt{1+(y')^2}dx$

where g is some function of $x^2+y^2$ . Use polar coordinate transformation $(x,y)=(rcos(\theta),rsin(\theta))$ to find the general form of the extremals in terms of $g$ , $r$ and $\theta$ .

Mitt lösningsförslag:

Börja med att beräkna vad $y'$ är i termer av $r$ och $\theta$ , med antagande att $r$ är någon funktion av $\theta$ . Använd att $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\dfrac{y_\theta+\dot{r}y_r}{x_\theta+\dot{r}x_r}=\dfrac{rcos(\theta)+\dot{r}sin(\theta)}{-rsin(\theta)+\dot{r}cos(\theta)}$ .

Enligt min bok ger då $\sqrt{1+(y')^2}dx=\sqrt{r^2+\dot{r}^2}d\theta$ .

Alltså ges min nya extremal av

$K(r)=\int_{\theta_0}^{\theta_1}g(r^2)\sqrt{r^2+\dot{r}^2}d\theta$ . Eftersom denna är (explicit) oberoende av $\theta$ så kan man använda Euler-Lagranges ekvation

$H(r,\dot {r})=\dot{r}\dfrac{\partial F}{\partial \dot{r}}-F=C$

där $F$ är vår funktion inuti integralen ovan. Ta reda på derivatan:

$\dfrac{\partial F}{\partial \dot{r}}=\dfrac{g(r^2)\dot{r}}{\sqrt{r^2+\dot{r}^2}}$

vilket ger:

$H(r,\dot{r})=\dot{r}\dfrac{g(r^2)\dot{r}}{\sqrt{r^2+\dot{r}^2}}-g(r^2)\sqrt{r^2+\dot{r}^2}=C$

och detta är en förstagradens PDE. Jag löser ut $\dot{r}$ ;

$\dot{r}\dfrac{g(r^2)\dot{r}}{\sqrt{r^2+\dot{r}^2}}-g(r^2)\sqrt{r^2+\dot{r}^2}=C\leftrightarrow \dot{r}^2-r^2-\dot{r}^2=\dfrac{C}{g(r^2)}\leftrightarrow \dot{r}^2=\dfrac{r^2g(r^2)^2}{C^2}-r^2=\dfrac{r^4g(r^2)^2-r^2C^2}{C}$ .

Och hur löser jag ens detta...? Det finns ju ingen fin matematisk funktion för detta (fula) uttryck. Alltså måste jag gjort fel någonstans.

Jag förstår att det antagligen kommer se för jäkligt ut hur detta renderas, men hoppas någon orkar försöka hjälpa. Känner mig aningen vilse.

Jag förstår inte varför r skulle vara en funktion av täta, bara för att y är en funktion av x. Hur tänkte du där?

Istället bör det gälla att

y'(x) = y_r\cdot r_x + y_täta\cdot täta_x.

Det kan ju hjälpa att kontrollera ens intuitioner genom att relatera funktionalen till något fysikaliskt problem.

I det här fallet är integralen av typen där man integrerar en viktfunktion över en kurvas längd där kurvan har fixerade ändar, en integraltyp jag skulle representera som

$\int_\gamma n(\gamma) d\gamma$

men där poängen är att dessa funktionaler förekommer i stråloptiken där de representerar den optiska vägens längd (OPL) där $n(\mathbf r)$ är brytningsindex inom medium och minimering av detta motsvarar att hitta vägen genom ett medium som ljuset skulle ta inom ett medium mellan två punkter.

Varför jag tar upp det är för att man i så fall kan söka efter metoder associerade med optikproblem i radiella geometrier samt använda sina stråloptiks intuitioner för att kontrollera om det man kommit fram till är rimligt. Att söka på de nyckelorden kan även ge källor på metoder.

Exempelvis om g(x) = 1, homogent medium, så borde man få en rak kurva och likaså om start och slutpunkter hos kurvan ligger längdmed radiella riktningen oavsett vad g är.

Nvm, trodde jag hade en grej men hade den inte.

(edit)

SeriousCephalopod skrev:
Nvm, trodde jag hade en grej men hade den inte.
(edit)

Du hade en grej. Jag glömde skriva kvadratroten i HL men jag löste ut på papper först så det bör vara korrekt.

Jag ska titta på era tips när jag kommer hem. Men ditt tips är ju rimligt eftersom kortaste avståndet mellan två punkter bör vara en rät linje. Återkommer sedan :)

Åt albiki: I min bok tar de upp polära koordinater och säger i alla exempel osv att r kan anses vara en funktion av theta. Stämmer inte det?

SeriousCephalopod skrev:
Det kan ju hjälpa att kontrollera ens intuitioner genom att relatera funktionalen till något fysikaliskt problem.
I det här fallet är integralen av typen där man integrerar en viktfunktion över en kurvas längd där kurvan har fixerade ändar, en integraltyp jag skulle representera som
$\int_\gamma n(\gamma) d\gamma$
men där poängen är att dessa funktionaler förekommer i stråloptiken där de representerar den optiska vägens längd (OPL) där $n(\mathbf r)$ är brytningsindex inom medium och minimering av detta motsvarar att hitta vägen genom ett medium som ljuset skulle ta inom ett medium mellan två punkter.
Varför jag tar upp det är för att man i så fall kan söka efter metoder associerade med optikproblem i radiella geometrier samt använda sina stråloptiks intuitioner för att kontrollera om det man kommit fram till är rimligt. Att söka på de nyckelorden kan även ge källor på metoder.
Exempelvis om g(x) = 1, homogent medium, så borde man få en rak kurva och likaså om start och slutpunkter hos kurvan ligger längdmed radiella riktningen oavsett vad g är.

Jag har suttit nu en stund (alltså typ fyra dagar) och ser inte hur det hjälper riktigt. Jag håller med om att om $g=1$ så är det ju bara ett minimeringsproblem mellan två ändpunkter, och dessa ger en extremal $y=\alpha x+\beta$ . Men om $g\neq 1$ så ser jag inte hur jag ska komma förbi. Speciellt inte när funktionen är på $g(r^2)$ -form. :/ Antagligen så måste jag ha gjort fel i någon stil á la Albikis förslag...men jag ser det inte direkt.

Jag ska googla lite mer på radiella problem och se vad som hittas. Återkommer (i bästa fall...) :)

Differentialen dx kommer att innehålla både dtäta och dr: dx = cos täta dr - r sin täta dtäta.

Derivatan är y' = tan täta - 1/(tan täta).

Albiki skrev:
Differentialen dx kommer att innehålla både dtäta och dr: dx = cos täta dr - r sin täta dtäta.
Derivatan är y' = tan täta - 1/(tan täta).

Jag greppar inte argumentet.

När allt är sagt och gjort så kommer det väl fortfarande att vara

$ds = \sqrt{1 + y'(x)^2}dx = \sqrt{r(\theta)^2 + r'(\theta)^2}d\theta$

precis som woozah ställt upp. Sedan kan detta härledas via din väg eller så kan man ta en annan men ska ju inte påverka funktionalens form.

https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length#Other_coordinate_systems

Jag misstänker att det helt enkellt är en återvändsgränd att försöka använda

$\frac{r^2g(r^2)}{\sqrt{r^2 + (r')^2}} = C$

direkt och istället nöja oss med att s detta som en rörelsekonstant, liknande rörelsemängsmoment i Keplerproblemet och likt i det problemet istället försöka använda denna konstant i den normala EL-ekvationen

Låt mig använda $\ell$ som shorthand för $\sqrt{r^2 + (r')^2}$

$\frac{r^2 g(r^2)}{\ell} = C$

Funktionalen är alltså

$F = g(r^2) \ell$

och EL-ekvationen

$$\cfrac{\partial F}{\partial r} - \cfrac{d}{d\theta} \cfrac{\partial F}{\partial r'}  = 0$$

blir

$2r g'(r^2)\ell + \frac{2r g(r^2)}{\ell} - \frac{d}{d\theta}\frac{2 r' g(r^2)}{\ell} = 0$

(***)Låt oss substituera in C mer eller mindre överallt där $\ell$ förekommer där det ser lovande ut att göra i uttrycket

$\frac{2r^3 g'(r^2)g(r^2)}{C} + \frac{2C}{r} - \frac{d}{d\theta}\frac{2Cr'}{r^2}= 0$

Det är ur ett optiskt perspektiv ganska vettigt att det endast är $g'$ förekommer i denna form då det är variationer i optisk täthet som böjer av strålen.

Runtflyttat lite

$\frac{d}{d\theta}\frac{r'}{r^2} = \frac{r^3 g'(r^2)g(r)^2}{C^2} + \frac{1}{r}$

Låt oss ta variabelbytet $u = 1/r$ i vilket fall $r' = (1/u)' = -u'/u^2$ och $r'/r^2 = -u^2 r' = -u'$

Får då

$\boxed{u''+ u = -\frac{g'(1/u^2)g(1/u^2)}{u^3 C^2}}$

eller varför inte

$\boxed{u''+ u = \frac{1}{4C^2}\frac{d}{du}g(1/u^2)^2}$

Detta är åtminstone en analytiskt kompakt ekvation även om den dolt relationen till r via $\boxed{u = 1/r}$ och borde gå bra att undersöka analytiskt samt integrera numeriskt. Den är dock nog bara lösbar analytiskt för några specialfall av g.

Inspirationen bakom denna lösningsmetod samt variabelbytet är plockat wholesale från lösningen till Keplerproblemet på wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem#Solution_of_the_Kepler_problem

***gjorde omfattande ändringar från denna punkt i ett försökt att får en annan slutform men medför risken av att det finns fel om rester från den andra lösningen finns kvar

***slutsvaret är nog fel men om det är det så blottlägger förhoppningsvis lösningen en användbar infallsvinkel. Över tre år sedan jag gjorde variationskalkylsproblem. Tecken och faktorier är särskillt troliga att de har slarv i sig såhär 01:00

Härledningen hade blivit mycket mindre plottrig om man bara kört på g(r) från början istället för g(r^2) som var i lydelsen. Särskillt som det ju inte gör någon fysikalisk skillnad. (Om man vill göra den själv för kontroll)

Tack för hjälpen. Jag gick igenom din lösning och variabelbytet är synnerligen snyggt. Oavsett så vet jag inte riktigt om det alltid blir så fint diff.ekv. man får ändå, så troligtvis är nog inte meningen att man ska hitta en väldigt fint uttryck för just $r$ . Nåja.

Tack så väldigt mycket för hjälpen, och sjukt att du håller på klockan 01. ;)

Återkommer troligtvis med fler problem i framtiden. :)

Dåliga prioriteringar mest och tror nog att några faktorer eller tecken garanterat är fel. Göras om med g(r) istället för g(r^2) borde hjälpa.

I efterhand skulle jag nog hellre applicerat Hamiltons ekvation istället (han uppfann ju den Hamiltonska optiken) då även om hamiltons ekvationer är svårare att lösa analytiskt så är de ju första ordningen så om man ger upp och kör numerisk analys så är de färdiga för det.

Svara

Visa senaste svar