Hitta en andragrad ekvation från en kurva. (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Fanns bilden till uppgiften? I så fall har du två punkter på vägen, och av symmetriskäl får du en tredje. Utan bild verkar det vara för lite info.

Du har alltså en andragradskurva som går genom punkterna (-100,100) och (0,0), och som har en symmetrilinje som sammanfaller med y-axeln. Att hitta den parabeln lärde du dig i matte2.

Bilens lyktor lyser rakt fram, d v s ljusstrålen har samma lutning som vägen har i just den punkten. Säger det dig någonting?

Daja skrev :
Hej,
I morse försökte jag lösa en uppgift och blev horrifierad när jag märkte att jag var okapabel att komma på en andragradsekvation från en kurva, hur mycket jag nu tänkte på det...
"En bil startar i punkten (-100,100) på en parabelformad väg. Kurvan har en minimipunkt. Viktor står i punkten (100,50). Var på vägen befiner sig bilen då strålkastarna är riktade rakt mot Viktor. Hur kan man komma framm till att parabellns ekvation är (x^2)/100"
Svaret är x2100. Men hur hittar man det själv?

Spontant känns det som att det finns flera möjliga lösningar. Står det verkligen då ordagrant? Inga andra villkor eller information?

Här är ett par exempel på andra lösningar som uppfyller givna villkor.

EDIT - om din ritade bild hörde till uppgiften är det såklart välbestämt.

smaragdalena skrev :
Att hitta den parabeln lärde du dig i matte2.

Det är precis det som skrämmer mig... omöjligt att komma ihåg hur man gör!

Hur gör man i den här fall?

Daja skrev :
smaragdalena skrev :
Att hitta den parabeln lärde du dig i matte2.
Det är precis det som skrämmer mig... omöjligt att komma ihåg hur man gör!
Hur gör man i den här fall?

Vägen är parabelformad, vilket betyder att den kan beskrivas av funktionen

f(x) = ax^2 + bx + c, där a är skilt från 0.

Du vet att punkten (-100, 100) ligger på kurvan, vilket ger dig ekvationen

1) 100 = a*(-100)^2 + b*(-100) + c.

Om minimipunkten är origo, dvs om bilden hör till uppgiften, så vet du att punkten (0, 0) ligger på kurvan., vilket ger dig ekvationen

2) 0 = a*0^2 + b*0 + c.

Eftersom origo är en minimipunkt vet du även att derivatan i den punkten är lika med 0.

Dvs f'(0) = 0

Derivera nu f(x) och lös ekvationen

3) f'(0) = 0

så har du allt du behöver.

Ekvation 3 ger ett värde på b.

Ekvation 2 ger ett värde på c.

Sedan får du ett värde på a genom ekvation 1

Alla andragradsekvationer kan skrivas som $y = a x^{2} + b x + c$ . Sätt in x = 0, så ser du att c = 0. Du ser att x = 0 är symmetrilinjen, och det innebär att b = 0. Du vet att y(-100) = 100, så du kan räkna ut att a = 0,01.

En lite annan metod: Du kan se att (100,100) också ligger på parabelvägen av symmetriskäl. Då har du tre par av (x,y) som hör ihop, och du kan få ekvationssystemet

$100 = (- 100)^{2} a + (- 100) b + c$ $0 = 0 a + 0 b + c$ $100 = 100^{2} a + 100 b + c$

som du kan lösa.

Tack så mycket för en väldigt tydligt påminelse. Ska ta en rast nu med hopet att hjärnan fungerar efter det:/...

Yngve skrev :
Daja skrev :
smaragdalena skrev :
Att hitta den parabeln lärde du dig i matte2.
Det är precis det som skrämmer mig... omöjligt att komma ihåg hur man gör!
Hur gör man i den här fall?
Vägen är parabelformad, vilket betyder att den kan beskrivas av funktionen
f(x) = ax^2 + bx + c, där a är skilt från 0.
Du vet att punkten (-100, 100) ligger på kurvan, vilket ger dig ekvationen
1) 100 = a*(-100)^2 + b*(-100) + c.
Om minimipunkten är origo, dvs om bilden hör till uppgiften, så vet du att punkten (0, 0) ligger på kurvan., vilket ger dig ekvationen
2) 0 = a*0^2 + b*0 + c.
Eftersom origo är en minimipunkt vet du även att derivatan i den punkten är lika med 0.
Dvs f'(0) = 0
Derivera nu f(x) och lös ekvationen
3) f'(0) = 0
så har du allt du behöver.

Ekvation 3 ger ett värde på b.
Ekvation 2 ger ett värde på c.
Sedan får du ett värde på a genom ekvation 1

Oj en sista sak! Var inte minimapunkt -p/2?

Daja skrev :
Yngve skrev :
Daja skrev :
smaragdalena skrev :
Att hitta den parabeln lärde du dig i matte2.
Det är precis det som skrämmer mig... omöjligt att komma ihåg hur man gör!
Hur gör man i den här fall?
Vägen är parabelformad, vilket betyder att den kan beskrivas av funktionen
f(x) = ax^2 + bx + c, där a är skilt från 0.
Du vet att punkten (-100, 100) ligger på kurvan, vilket ger dig ekvationen
1) 100 = a*(-100)^2 + b*(-100) + c.
Om minimipunkten är origo, dvs om bilden hör till uppgiften, så vet du att punkten (0, 0) ligger på kurvan., vilket ger dig ekvationen
2) 0 = a*0^2 + b*0 + c.
Eftersom origo är en minimipunkt vet du även att derivatan i den punkten är lika med 0.
Dvs f'(0) = 0
Derivera nu f(x) och lös ekvationen
3) f'(0) = 0
så har du allt du behöver.

Ekvation 3 ger ett värde på b.
Ekvation 2 ger ett värde på c.
Sedan får du ett värde på a genom ekvation 1
Oj en sista sak! Var inte minimapunkt -p/2?

Jo, om funktionen är skriven på formen

f(x) = x^2 + px + q så gäller att minpunkten ligger vid x = -p/2.

Men vår funktion har utseendet

f(x) = ax^2 + bx + c

Då ligger min- (eller max-)punkten vid x = -b/(2a)

Yngve skrev :
Jo, om funktionen är skriven på formen
f(x) = x^2 + px + q så gäller att minpunkten ligger vid x = -p/2.

Men vår funktion har utseendet
f(x) = ax^2 + bx + c
Då ligger min- (eller max-)punkten vid x = -b/(2a)

Tack! Ah just det, som i den delta formel (b^2-4ac)/2a. Huvudet vägrar att fungera idag.

Nu har jag kastat bort flera timmar på den här problem utan att lösa det!

Den enda positiva sak är att jag har lärt mig att paraboler formeln är $y = k x^{2}$ (eller?)

Så, vi har nu en parabel med ekvation $y = 0.01 x^{2}$ och en tangent med k=y'=0.02.

Punkt Viktor är på den, så att $50 = 0.02 * 100 + m$ , så m måste väl vara -150?

Om punkten på kurvan, låt oss kalla den D (dike, där bilen ramlar in och lysa på Viktor med sina strålkastare...) är väl på både $y = 0.01 x^{2}$ och y= 2x-150??

Och när jag kommer till $0.01 x^{2} - 2 x + 150 = 0$ får jag $∆ =$ $- 2^{2} - (4 * 150 * 0.01)$ =-2, som skulle innebär att ekvation har inga reella lösningar. Jag går inte vidare :(

Dels har du punkten därViktor står, som är (100,50). Dels har du punkten (x, f(x)) där bilen är.

Bilens lyktor lyser i den riktning som vägen är just då, så riktningskoefficienten för den räta linje som ljuset är, är k=f'(x).

När lyktorna lyser på Viktor vet vi två punkter som ligger på linjen och linjens lutning (fast i väldigt tillkrånglad form).

Vi vet att $f (x) = \frac{x^{2}}{100}$ och att alltså $f' (x) = \frac{x}{50}$ . Vi har formeln $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , d v s $\frac{x}{50} = \frac{\frac{x^{2}}{100} - 50}{x - 100}$ . Kan du lösa den ekvationen?

$y = k x^{2}$ är en parabel, men om du vill ha ett uttryck som ger ALLA tänkbara parabler, så är det $y = a x^{2} + b x + c$ .

Formeln $y = k x^{2}$ ger endast de parabler som dels har symmetrilinjen x=0 och dels har f(0)=0.

smaragdalena skrev :
y=kx2 är en parabel, men om du vill ha ett uttryck som ger ALLA tänkbara parabler, så är det y=ax2+bx+c.
Formeln y=kx2 ger endast de parabler som dels har symmetrilinjen x=0 och dels har f(0)=0.

Förtydligande:

y = ax^2 + bx + c är endast en parabel om a =/= 0.

Om a = 0 så är det istället en rät linje y = bx + c

Om även b = 0 så är det en horisontell linje y = c.

I ditt fall med vägen så har du y = ax^2 + bx + c, där a = 1/100, b = 0 och c = 0.

smaragdalena skrev :
Formeln $y = k x^{2}$ ger endast de parabler som dels har symmetrilinjen x=0 och dels har f(0)=0.

Hmm det måste jag skriva på en post it nånståns.

Yngve skrev :
Förtydligande:
y = ax^2 + bx + c är endast en parabel om a =/= 0.
Om a = 0 så är det istället en rät linje y = bx + c
Om även b = 0 så är det en horisontell linje y = c.

Det också...

smaragdalena skrev :
Dels har du punkten därViktor står, som är (100,50). Dels har du punkten (x, f(x)) där bilen är.
Bilens lyktor lyser i den riktning som vägen är just då, så riktningskoefficienten för den räta linje som ljuset är, är k=f'(x).
När lyktorna lyser på Viktor vet vi två punkter som ligger på linjen och linjens lutning (fast i väldigt tillkrånglad form).
Vi vet att $f (x) = \frac{x^{2}}{100}$ och att alltså $f' (x) = \frac{x}{50}$ . Vi har formeln $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , d v s $\frac{x}{50} = \frac{\frac{x^{2}}{100} - 50}{x - 100}$ . Kan du lösa den ekvationen?

Det är väldigt krångligt.

Så nu hittr jag:

$\frac{x}{50} = \frac{\frac{x^{2}}{100} - 50}{x - 100} x * (x - 100) = 50 * (0, 01 x^{2} - 50) x^{2} - 100 x = 0.5 x^{2} - 250 0.5 x^{2} - 100 x + 250 = 0$

med x_1 $\approx$ 2.53 och x_2 197,...

bara x_1 duger för då ekvation $\approx$ 0

Så x= 2.53?

Men det stämmer inte med faciten, vad är fel nu?

Gud kan inte Viktor bli påkörd av den dumma bilen, det finns mycket mer gulliga hundar och katter som blev påkörd för mindre!

Multiplicera din nedersta ekvation med 2 och använd pq-formeln. Jag fick fram två vettiga lösningar på det sättet. Dessutom, varför skulle inte en lösning som är mindre än 0 fungera? (Nu blir det ingen sådan, men dek skulle kunna ha blivit om Viktor stod på en annan plats.)

Viktor kanske är en hund?!

Nu har jag lite dålig samvete för stackars Viktor...

Problemet var inte att det var mindre än noll, utan att det var en lösning med i... Och

Men du, om jag gångrar med 2, får jag fortfarande lösningar 197.46 och 2.532.

Om jag tar punkten 2.53 (den som ligger lägre än Viktor), får jag y= 0.064.

Men det fortfarande inte stämmer med faciten?

Nu hittade jag var det blev fel. $50 \cdot 50 = 2500$ , inte 250.

Du har ekvationen $x^{2} - 200 x + 5000 = 0$ . Sätter du in sifrorna i pq-formeln får du $x = 100 \pm \sqrt{5000}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2-200x%2B5000%3D0

Ah gud, jag känner mig som den trögaste person i världen. Nu är det rätt, 29.8 och 8.57. Den mer stressad jag blir den mer slarvfel jag gör :(...

Jag måste komma ihåg nyckel i den här lösning. För nästa fall när, om Victor blir nu en model på Milan fashion week, som råkar göra en u turn på catwalken precis när strålare träffar honom rätt i ögonen...

Daja skrev :
Ah gud, jag känner mig som den trögaste person i världen. Nu är det rätt, 29.8 och 8.57. Den mer stressad jag blir den mer slarvfel jag gör :(...
Jag måste komma ihåg nyckel i den här lösning. För nästa fall när, om Victor blir nu en model på Milan fashion week, som råkar göra en u turn på catwalken precis när strålare träffar honom rätt i ögonen...

Nja.

De två lösningarna blir x1 ~ 170,7 och x2 ~ 29,3.

Endast en av dessa lösningar är dock den rätta.

Om du läser problembeskrivningen igen och jämför med din skiss så inser du kanske vilken av lösningarna som är den rätta och varifrån den andra lösningen kommer?

Vi letar efter en koordinat på en punkt som ligger under x=100 på en ny kurva.

Uppgifter frågar koordinater, så vi har x=29.3 (och inte .8, en till distraktionsfel!), och y=0.01*(29.3)^2=8.5

Punkten x= ungefär 170 kommer från den nya parabel vi fick rita för att hitta den korrekta lösningen.

Är det det du menar?

Daja skrev :
Vi letar efter en koordinat på en punkt som ligger under x=100 på en ny kurva.
Uppgifter frågar koordinater, så vi har x=29.3 (och inte .8, en till distraktionsfel!), och y=0.01*(29.3)^2=8.5
Punkten x= ungefär 170 kommer från den nya parabel vi fick rita för att hitta den korrekta lösningen.
Är det det du menar?

Nej.

Det är bara en parabel och båda punkterna ligger på parabeln. Båda tangenterna går genom punkten (100, 50) så båda punkterna uppfyller de villkoren.

Har du ritat en ungefärlig figur?

Problemet är att när vi skapade vår matematiska modell så tog vi inte hänsyn till åt vilket håll bilen körde. Vid x ~ 170 så har bilen redan passerat personen som då alltså får bilens bakljus riktade rakt mot sig. Alternativt är det en bil som kommer från andra hållet (från höger).

Ser du det framför dig?

Yngve skrev :
Daja skrev :
Vi letar efter en koordinat på en punkt som ligger under x=100 på en ny kurva.
Uppgifter frågar koordinater, så vi har x=29.3 (och inte .8, en till distraktionsfel!), och y=0.01*(29.3)^2=8.5
Punkten x= ungefär 170 kommer från den nya parabel vi fick rita för att hitta den korrekta lösningen.
Är det det du menar?
Nej.
Det är bara en parabel och båda punkterna ligger på parabeln. Båda tangenterna går genom punkten (100, 50) så båda punkterna uppfyller de villkoren.
Har du ritat en ungefärlig figur?
Problemet är att när vi skapade vår matematiska modell så tog vi inte hänsyn till åt vilket håll bilen körde. Vid x ~ 170 så har bilen redan passerat personen som då alltså får bilens bakljus riktade rakt mot sig. Alternativt är det en bil som kommer från andra hållet (från höger).
Ser du det framför dig?

Hej!

Så du menar att vi inte skapade ny parabel y=x^2−200x+5000 ((från 0.02x = (0.01x^2 - 50)/(x-100)) för att lösa ekvationen och hitta x?

Jag har skrivit både formeln i google och får fram 2 kurvor. Ursprungliga kurva f(x)=0.01x^2 och en mer skinny y=x^2−200x+5000.

https://www.google.se/webhp?sourceid=chrome-instant&ion=1&espv=2&ie=UTF-8#q=y%3Dx%5E2%E2%88%92200x%2B5000+and+y%3D0.01x%5E2&*

Men iaf, borde inte lösningen vara klart från illustrationen i texten? Alltså att den x vi är efter ligger under Viktors position?

Du skall inte göra någon ny parabel. Vägen skall inte flytta sig. Du skulle kunna använda den parabel du har, stort och snyggt ritad, och lägga en linjal längs med den och rita in den linjen som lutar lika mycket som kurvan gör (den räta linjen kallas tangent). Rita en massa tangenter i olika punkter, och håll på tills du råkar hitta en tangent som går just genom den punkt där Viktor står.

smaragdalena skrev :
Du skall inte göra någon ny parabel. Vägen skall inte flytta sig. Du skulle kunna använda den parabel du har, stort och snyggt ritad, och lägga en linjal längs med den och rita in den linjen som lutar lika mycket som kurvan gör (den räta linjen kallas tangent). Rita en massa tangenter i olika punkter, och håll på tills du råkar hitta en tangent som går just genom den punkt där Viktor står.

Det verkar rimligt. Men jag menar algebraisk. Du gav formeln för att hitta x från Δy/Δx ekvationen tidigare, och den här ekvation gav oss en ny polynom, eller?

Daja skrev :
smaragdalena skrev :
Du skall inte göra någon ny parabel. Vägen skall inte flytta sig. Du skulle kunna använda den parabel du har, stort och snyggt ritad, och lägga en linjal längs med den och rita in den linjen som lutar lika mycket som kurvan gör (den räta linjen kallas tangent). Rita en massa tangenter i olika punkter, och håll på tills du råkar hitta en tangent som går just genom den punkt där Viktor står.
Det verkar rimligt. Men jag menar algebraisk. Du gav formeln för att hitta x från Δy/Δx ekvationen tidigare, och den här ekvation gav oss en ny polynom, eller?

Ja, den ekvationen beskriver kravet att tangenten skall gå genom punkten (100, 50). Det är en amdragradsekvation som har två lösningar.

Längs vägen som beskrivs av parabeln y = x^2/100 finns det alltså två tangenter som går genom punkten där Viktor står.

En av dessa tangeringspunkter ligger vid ett x-värde som är mindre än Viktors x-position och den andra vid ett x-värde som är större än Viktors x-position.

Den ena punkten är den som efterfrågas, nämligen den där bilen ännu inte har passerat Viktor och där bilens strålkastare lyser rakt på Viktor.

Den andra punkten motsvarar att bilen har passerat Viktor och där bilens bakljus lyser rakt på Viktor.

Jag tror att du i ditt svar bör beskriva varför du inte tar med båda lösningarna.

Ok, jag förstår vad du menar. Alla andragradsekvationer behöver inte bli parabellor.

Kan tänka mig att det är viktigt att vara tydligt med svaret, så att läraren tror inte att det var en slump.

Stor tack för hjälpen, verkligen!

Alla andragradsfunktioner är parabler. Alla parabler kan beskrivas av andragradsfunktioner.

(Det heter en parabel, flera parabler.)

Så om nu dom vill veta hur Viktor belysas från röda bakljus, det är bara att använda oss av punkten 170;138.5 och Viktor koordinater...

Just det, eller om det kommer en bil från andra hållet!

Daja skrev :
Så om nu dom vill veta hur Viktor belysas från röda bakljus, det är bara att använda oss av punkten 170;138.5 och Viktor koordinater...

Den andra punkten är ungefär vid (170,7 ; 291,4).

Ojdå, jag kollade inte längre än att x-koordinaten verkade stämma. Ursäkta! Tack Yngve.

Ursäkta, jag räknade koordinater i x^2-200x+5000...