Hitta en allmän lösning till differentialekvationen

Lös homogena ekvationen, sök en partikulärlösning (väldigt enkel i det här fallet).

$$\begin{gathered} Prova med \\ y=e^{kx}+C \end{gathered}$$

Jag försökte hitta den allmänna lösningen till att börja med jag tror att något gick snett. 

y''''-16y=2

=> y''''-16y - 2 = 0 

=> r^2-16r-2 = 0

Därefter använde jag PQ-formeln

r= 8 +-$\sqrt{8^2+2}$ = 8+- $\sqrt{66}$

Vart har jag gjort fel. Detta känns inte rätt. 

981002 skrev :

Jag försökte hitta den allmänna lösningen till att börja med jag tror att något gick snett. 

y''''-16y=2

=> y''''-16y - 2 = 0 

=> r^2-16r-2 = 0

Därefter använde jag PQ-formeln

r= 8 +-82+2 = 8+- 66

Vart har jag gjort fel. Detta känns inte rätt. 

Välkommen till Pluggakuten!

Karakteristiska ekvationen skulle i det fallet bli

r^4 - 16 = 0

Yngve skrev :

981002 skrev :

Jag försökte hitta den allmänna lösningen till att börja med jag tror att något gick snett. 

y''''-16y=2

=> y''''-16y - 2 = 0 

=> r^2-16r-2 = 0

Därefter använde jag PQ-formeln

r= 8 +-82+2 = 8+- 66

Vart har jag gjort fel. Detta känns inte rätt. 

Välkommen till Pluggakuten!

Karakteristiska ekvationen skulle i det fallet bli

r^4 - 16 = 0

Tack så mycket! 

Då borde lösningen till den karaktäristiska ekvationen vara:

r^4 - 16 = 0

r^4 = 16

r = 2  

Blir den allmänna lösningen då y = $e^{2x}$+C?

Tacksam för all hjälp! 
 

Åsså bestämmer du C

Affe Jkpg skrev :

Åsså bestämmer du C

Blir det då att man tänker f(0)=2? För i så fall blir C: 

f(0)=2 

=>C = $e^{2x\times 0}$ = 2 

=>C =  $e^0$ = 2 

=> $C\times 1=2 \Rightarrow C=2$ ?

Tack på förhand! 

981002 skrev :

Affe Jkpg skrev :

Åsså bestämmer du C

Blir det då att man tänker f(0)=2? För i så fall blir C: 

f(0)=2 

=>C = $e^{2x\times 0}$ = 2 

=>C =  $e^0$ = 2 

=> $C\times 1=2 \Rightarrow C=2$ ?

 

Tack på förhand! 

Jag förstår inte riktigt vad du skriver:

$2^4{e}^{2x}-\left(16\right(e^{2x}+C\left)\right)=2$

Affe Jkpg skrev :

981002 skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

Åsså bestämmer du C

Blir det då att man tänker f(0)=2? För i så fall blir C: 

f(0)=2 

=>C = $e^{2x\times 0}$ = 2 

=>C =  $e^0$ = 2 

=> $C\times 1=2 \Rightarrow C=2$ ?

 

Tack på förhand! 

Jag förstår inte riktigt vad du skriver:

$2^4{e}^{2x}-\left(16\right(e^{2x}+C\left)\right)=2$

Så jag ska lösa ekvationen: 

$2^4{e}^{2x}-\left(16\right(e^{2x}+C\left)\right) = 2$

för att erhålla C? 

En fjärdegradsekvation har fyra lösningar r=2 är en och r=-2 är en annan. Kan du komma på vilka dom andra två är?

Då har du homogena ekvationens lösning. Sen är det bara en partikulärlösning du ska hitta. Den är jätteenkel. När du kollar partikulärlösningen ska du inte dra in det uttryck som ger den homogena ekvationens allmänna lösning.

Tänk på att karakteristiska ekvationen har fyra rötter, 2, -2, 2i och -2i. Glöm heller inte bort partikulärlösningen.

Okej! Så den allmänna lösningen är då egentligen $y = e^{2x}+ e^{-2x}+e^{2ix}{+}^{-2ix}+C$ ?

Ska man då överhuvudtaget bestämma C? Och hur påbörjar man den partikulära lösningen? 

Jag är oerhört tacksam för alla svar! Väldigt stort tack till samtliga! 

Det har varit lite missuppfattningar längs vägen. Du kan inte ha imaginära argument i lösningen, så den homogena delen blir A exp(2x) + B exp(-2x) + C cos(2x) + D sin(2x). Så tillkommer en partikulärlösning, sådan att ekvationen stämmer med högerledet.

HT-Borås skrev :

Det har varit lite missuppfattningar längs vägen. Du kan inte ha imaginära argument i lösningen, så den homogena delen blir A exp(2x) + B exp(-2x) + C cos(2x) + D sin(2x). Så tillkommer en partikulärlösning, sådan att ekvationen stämmer med högerledet.

Okej, så lösningnen till den homogena delen är:

A exp(2x) + B exp(-2x) + C cos(2x) + D sin(2x)

Jag vet att den fullständig lösningen är  y(t) = h(t) + p(t). Ska jag då derivera 

A exp(2x) + B exp(-2x) + C cos(2x) + D sin(2x) för att erhålla parikulärlösningen? 

Tacksam för svar! 

Tekniken för att hitta partikulärlösning är att "gissa" något som liknar högerledet, sätta in det i ekvationen och få det att stämma. I det här fallet är högerledet en konstant, 2.

HT-Borås skrev :

Tekniken för att hitta partikulärlösning är att "gissa" något som liknar högerledet, sätta in det i ekvationen och få det att stämma. I det här fallet är högerledet en konstant, 2.

Juste! Om man skulle "gissa" och ersätta alla x med 2 i

 A exp(2x) + B exp(-2x) + C cos(2x) + D sin(2x), skulle det funka? 

Tack på förhand! :)

Nej, det skulle inte fungera. Du behöver läsa på om differentialekvationer från början - det håller inte att bara gissa slumpmässigt.

981002 skrev :

HT-Borås skrev :

Tekniken för att hitta partikulärlösning är att "gissa" något som liknar högerledet, sätta in det i ekvationen och få det att stämma. I det här fallet är högerledet en konstant, 2.

Juste! Om man skulle "gissa" och ersätta alla x med 2 i

 A exp(2x) + B exp(-2x) + C cos(2x) + D sin(2x), skulle det funka? 

 

Tack på förhand! :)

Det är mycket enklare än så. Strunta i den homogena lösningen h(x) och börja om med ett blankt papper när du ska hitta en partikulärlösning p(x):

Bestäm ett p(x) som uppfyller ekvationen

p''''(x)  - 16p(x) = 2

Dvs hitta en funktion p(x) som är sådan att dess fjärdederivata minus 16 gånger funktionen själv blir konstanten 2.

Tänk om den där fjärdederivatan skulle vara lika med 0 ... då skulle ekvationen bli 16*p(x) = 2, och den är ju väldigt enkel.

Få se nu ...

981002 skrev :

Affe Jkpg skrev :

Visa föregående citat

981002 skrev :

Affe Jkpg skrev :

Åsså bestämmer du C

Blir det då att man tänker f(0)=2? För i så fall blir C: 

f(0)=2 

=>C = $e^{2x\times 0}$ = 2 

=>C =  $e^0$ = 2 

=> $C\times 1=2\Rightarrow C=2$ ?

 

Tack på förhand! 

Jag förstår inte riktigt vad du skriver:

$2^4{e}^{2x}-\left(16\right(e^{2x}+C\left)\right)=2$

 

Så jag ska lösa ekvationen: 

$2^4{e}^{2x}-\left(16\right(e^{2x}+C\left)\right)=2$

 

för att erhålla C? 

Jaha... kanske enklare än du tror...

$$\begin{gathered} 2^4=16 \\ -16C=2 \end{gathered}$$