Hitta ekvation för tangentplan (flervariabelanalys)

För vilka värden på konstanten C är planet x+2y+3z=C ett tangent plan för hyperboliden $f(x,y,z)=x^2+y^2-3z^2-2$

Min lösning:

Normalvektorn till planet är: $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

Gradienten är:

$\frac{df}{dx}=2x$,$\frac{df}{dy}=2y$,$\frac{df}{dz}=-6z$

då får man:

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}2x\\ 2y\\ -6z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

vilket ger koordinaterna:

$\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 1\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

För man in dem i gradienten får man:

A=1, B=2, D=3

Ekvationen för ett tangent plan är:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+D(z-z_0)=0$

Vilket motsvarar

$(x-\frac{1}{2})+2(y-1)+3(z+\frac{1}{2})=0$

som ger

x+2y+3z=1

Alltså är C=1.

Korrekt svar är $C=\pm 2$