hitta egenvektorer

Egenvektorerna får du genom att finna nollrummet till den där senare matrisen, dvs det finns inte en enda (nollskild) vektor i nollrummet i den. Alltså skulle slutsatsen vara att det inte fanns någon egenvektor, men det är en motsägelse om ett egenvärde är 2.

Med andra ord, du har skrivit in fel matris, ta och kontrollera sista raden i den igen.

Stokastisk skrev :

Egenvektorerna får du genom att finna nollrummet till den där senare matrisen, dvs det finns inte en enda (nollskild) vektor i nollrummet i den. Alltså skulle slutsatsen vara att det inte fanns någon egenvektor, men det är en motsägelse om ett egenvärde är 2.

Med andra ord, du har skrivit in fel matris, ta och kontrollera sista raden i den igen.

Okej jag hittade felet, hade glömt sista raden att dra bort lambda, :/ men fick rätt nu, men bara en annan fråga, http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B3,4,2,1%7D,%7B0,-1,-1,-1%7D,%7B-1,-1,1,0%7D,%7B1,1,-3,0%7D+row+reduce det blir denna matris nu, men jag undrar, varför visar wolfram upp 4 olika egenvektorer? är det så, eller vilken av dom kan man välja? (tänker om man har en jäääättestor matris sen å man inte vill räkna ut alla egenvektorer osv)

eller det kansk eär beronde på vad man sätter som t? nu närj ag själv räknade så valde jag sätta t=x4, och då får jag vektorn t(1,-1,0,1)

Den visar egenvektorerna till den reducerade matrisen, men det är ju inte det du söker.

Du söker nollrummet till den matrisen, eftersom de vektorerna utgör egenvektorerna till den ursprungliga matrisen.

Stokastisk skrev :

Den visar egenvektorerna till den reducerade matrisen, men det är ju inte det du söker.

Du söker nollrummet till den matrisen, eftersom de vektorerna utgör egenvektorerna till den ursprungliga matrisen.

Men det här tkr jag är konstigt, för om man tittar på http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B5,4,2,1%7D,%7B0,1,-1,-1%7D,%7B-1,-1,3,0%7D,%7B1,1,-1,2%7D så står det ju Eigenvectors: att det är (1,0,1,1) samt (-1,1,0,0) och (1,-1,0,1) och det är ju egenvektorerna som kommer bygga upp den här diagnoliserade matrisen D?? (eller S som dom använder i länken, men vet inte om det är rätt?)

EDIT: den har ju dubbelrot iofs, vid (l-4)^2 där, ska man då ta den vektorn två gånger? nee hänge riste alls med hur de får ut (1,0,0,0) vektorn  i matrisen S i wolframalpha

Om du kollar på diagonaliseringen så ser du att det inte är en sådan. Utan det som står är jordan formen. J är alltså inte en diagonalmatris.

Matrisen går inte att diagonalisera eftersom den har för få egenvektorer. Detta eftersom egenvärdet 4 har den algebraiska multipliciteten 2 men bara den geometriska multipliciteten 1.

Stokastisk skrev :

Om du kollar på diagonaliseringen så ser du att det inte är en sådan. Utan det som står är jordan formen. J är alltså inte en diagonalmatris.

Matrisen går inte att diagonalisera eftersom den har för få egenvektorer. Detta eftersom egenvärdet 4 har den algebraiska multipliciteten 2 men bara den geometriska multipliciteten 1.

Okej så om jag fattar det här rätt, man ser den algebraiska multipliciteten på egenvärderna (tex  (λ-4)^2 då har de algeriska multiplicitet på 2, och liknade (λ-3) har algerbraiska multiplicitet 1 ? lika (λ-9)^{10} har algeriska multiplicitet 10? OAVSETT om det kommer komma en till produkt där att multipliceras med (tex (λ-3)^1 * (λ-4)^2 så har hela denna algebraiska multiplicitet 1?)

och den geometriska är när man tittar på ursprungsmatrisen - dens dimension? och dimensionen kan man se när man gauss eliminerat den på pivot elementen? 

Ja alltså den algebraiska multipliciteten tillhör varje enskilt egenvärde. Så om du har $(\lambda - 3)(\lambda - 4)^2$ så har 3 algebraiska multipiciteten 1 och 4 har algebraiska multipliciteten 2.

Den geometriska multipliciteten får du genom dimensionen på egenrummet tillhörande varje egenvärde. Dvs det är det samma som det största antalet linjärt oberoende egenvektorer du kan finna för egenvärdet.

Stokastisk skrev :

Ja alltså den algebraiska multipliciteten tillhör varje enskilt egenvärde. Så om du har $(\lambda - 3)(\lambda - 4)^2$ så har 3 algebraiska multipiciteten 1 och 4 har algebraiska multipliciteten 2.

Den geometriska multipliciteten får du genom dimensionen på egenrummet tillhörande varje egenvärde. Dvs det är det samma som det största antalet linjärt oberoende egenvektorer du kan finna för egenvärdet.

Vill du ge ett ex på den geometriska? (eller två så jag kan se skillnaden?)

Ja matrisen du visade var ju ett exempel, där du hade olika för egenvärdet 4.

Sedan kan man ju ta matrisen

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Denna har bara egenvärdet 1, det har algebraiska multipliciteten 2 men geometriska multipliciteten 1. Eftersom egenrummet till 1 endast är $span\left\{(1, 0{)}^t\right\}$