hitta egenvärden (linjär algebra)

har försökt lösa denna över 10 gånger och får olika svar hela tiden (dock inget av de rätt) så börjar undra nu vad som blir tokigt

jag ska hitta egenvärden för matrisen:

jag löser på följande sett:

$d e t (A - λ I) = 0$ där I är identitesmatrisen

$d e t ([\begin{matrix} 2 - λ & 1 & 1 \\ 2 & 1 - λ & - 2 \\ - 1 & 0 & - 2 - λ \end{matrix}]) = 0$ använder nedersta raden för vidare uträkning (använder fel klammer)

$[\begin{matrix} 2 - λ & 1 & 1 \\ 2 & 1 - λ & - 2 \\ - 1 & 0 & - 2 - λ \end{matrix}] = - [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 - λ & - 2 \end{matrix}] + (- 2 - λ) |\begin{matrix} 2 - λ & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{matrix}| = - (1 * (- 2) - (1 - λ)) + (- 2 - λ) ((2 - λ) (1 - λ) - 2) = - (- 2 - 1 + λ) + (- 2 - λ) (λ^{2} - 3 λ) = - (- 3 + λ) + (- λ^{3} + λ^{2} - 5 λ + 3) = - λ^{3} + λ^{2} + 6 λ$

vilket inte ger något heltal som det ska bli i facit?

förstår ej vart skon klämmer, någon som kan hjälpa mig?

Det blir fel på slutet.

$(-2-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda) = ?$

Dr. G skrev:
Det blir fel på slutet.
$(-2-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda) = ?$

$= - λ^{3} + λ^{2} + 6 λ$

vilket också blir fel när jag adderar det med resterande

$3 - λ - (- λ^{3} + λ^{2} + 6 λ) = 3 - λ + λ^{3} - λ^{2} - 6 λ = λ^{3} - λ^{2} - 7 λ + 3$

för hittar inga hela tal för $λ^{3} - λ^{2} - 7 λ + 3$ = 0

Lambda=3 fungerar vilket du skulle sett om du faktoriserade ditt polynom istället för att utveckla paranteserna. I uppgifter som dessa lönar det sig alltid att leta efter gemensamma faktorer, allra bäst är egentligen att fixa till sin determinant så den har en rad av endast ett nollskilt element, då trillar en faktor ur ur polynomet automatiskt.

Lägg till

$3 - \lambda$

så får du

$det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + \lambda^2 + 5\lambda + 3$

Dr. G skrev:
Lägg till
$3 - \lambda$
så får du
$det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + \lambda^2 + 5\lambda + 3$

okej tack, jag hittade felet. jag har skrivit + när jag i början räknat determinanten men sen när jag utvecklat räknar jag med minus av någon anledning (?!)

men då är jag med tusen tack!

@parveln vart ska jag hitta gemensam faktor? innan jag börjar räkna determinanten eller? är det bäst att fixa med gauss determinanten innan jag börjar räkna? just för denna eller allmänt 3x3?

Det kan vara bra att börja modifiera determinanten ( med gällande räkneregler) innan beräkning. T ex Gausseliminering: När du har determinanten på trappform blir det hela enkelt. Determinanten är då lika med produkten av diagonalelementen.

dr_lund skrev:
Det kan vara bra att börja modifiera determinanten ( med gällande räkneregler) innan beräkning. T ex Gausseliminering: När du har determinanten på trappform blir det hela enkelt. Determinanten är då lika med produkten av diagonalelementen.

yes yes jag har räknat med sånna uppgifter förut så borde ju funka. men dock inte med obekanta, funkar det lika bra då också alltså generellt?

Maremare skrev:
Dr. G skrev:
Lägg till
$3 - \lambda$
så får du
$det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + \lambda^2 + 5\lambda + 3$
okej tack, jag hittade felet. jag har skrivit + när jag i början räknat determinanten men sen när jag utvecklat räknar jag med minus av någon anledning (?!)
men då är jag med tusen tack!

@parveln vart ska jag hitta gemensam faktor? innan jag börjar räkna determinanten eller? är det bäst att fixa med gauss determinanten innan jag börjar räkna? just för denna eller allmänt 3x3?

I näst sista steget kan du förenkla i den vänstra parentesen till 3-lambda och bryta ut ett lambda ur den högra parentesen så att du får l(l-3) (l=lambda) sen kan du faktorisera ut (l-3) ur hela uttrycket. "Gausseliminering" fungerar likadant med obekanta som utan. Eftersom det är en determinant gäller dock vissa regler som man inte behöver tänka på vid lösning av ekvationssystem. Addition av en multipel av en rad till en annan rad kan göras utan någon fara. Om du byter plats på två rader måste du dock justera med ett minustecken och istället för att multiplicera en rad med en konstant kan du istället faktorisera ut faktorer från hela determinanten.

Svara

Visa senaste svar