Hitta differentialekvation av 2:a grad utifrån lösningar
Hej! Behöver hjälp om hur jag skall gå tillväga med denna uppgift.
"Ange en differentialekvation på formeln y'' + ay' + by = 0 som har lösningarna y = excos5x och exsin5x."
Min spontana tanke var att hitta den karakteristiska ekvationen, men lyckas inte riktigt med det. Gissar att mina r kommer vara komplexa då y är trigonometriska uttryck.
Försökte också att ta fram derivata och andraderivata på respektive lösning. Och sedan addera dessa (det är jag dock osäker på om man kan göra?). Det blev dock en enda röra av otroligt långa uttryck.
Svaret i facit är: y'' - 2y' + 26y
Om
y= ex*cos(5x)
så är
y'= ex*cos(5x)-5*ex*sin(5x)
och
y''= ex*cos(5x)-5*ex*sin(5x)-5*ex*sin(5x)-25*ex*cos(5x)= -10*ex*sin(5x)-24*ex*cos(5x)
Om vi tillfälligt kallar ex*sin(5x) för "s" och ex*cos(5x) för "c" så får vi
y'' + ay' + by = -10s-24c+a(c-5s)+bc=0
Delar man in det i s och c så får man
(-10-5a)=0
(-24+a+b)=0
(båda ovanstående måste stämma, ty s och c har varierande värden beroende på x-värde så skall det bli 0 vill det till att faktorn framför s respektive faktorn framför c blir 0 oavsett)
Detta borde ge att a=-2 och b=26, vilket var precis det som facit sade. Pröva gärna den andra lösningen facit ville ha.
Bedinsis skrev:Om
y= ex*cos(5x)
så är
y'= ex*cos(5x)-5*ex*sin(5x)
och
y''= ex*cos(5x)-5*ex*sin(5x)-5*ex*sin(5x)-25*ex*cos(5x)= -10*ex*sin(5x)-24*ex*cos(5x)
Om vi tillfälligt kallar ex*sin(5x) för "s" och ex*cos(5x) för "c" så får vi
y'' + ay' + by = -10s-24c+a(c-5s)+bc=0
Delar man in det i s och c så får man
(-10-5a)=0
(-24+a+b)=0
(båda o?vanstående måste stämma, ty s och c har varierande värden beroende på x-värde så skall det bli 0 vill det till att faktorn framför s respektive faktorn framför c blir 0 oavsett)
Detta borde ge att a=-2 och b=26, vilket var precis det som facit sade. Pröva gärna den andra lösningen facit ville ha.
Tusen tusen tack!
Varför är det dock så att jag bara behöver använda en av lösningarna (alltså y=excos5x)? Är det så att varje lösning bara har en diff ekvation på formen y'' + ay' + y = 0 som kan funka och att det då räcker att använda sig av en lösning. -Då de båda ändå är lösningar till den enda diff ekvationen de kan vara lösningar till. Nu blev det kanske lite krångligt.
Tack igen,
I ärlighetens namn trodde jag att jag skulle få fram några villkor på a och b som skulle bli tvungna att kompletteras med villkor som man får fram genom att använda den andra lösningen. Det kom som en överraskning att den lösningen gav entydiga värden på a och b.
Därför rekommenderar jag att du gör samma sak med den andra lösningen; jag vet inte vad det kommer leda till.
Troligtvis samma villkor på a och b, men kanske villkor som innefattar facits lösning men inte entydigt, vilket givet att den första lösningen skall vara gångbar gör att det är dess villkor som är den begränsade faktorn.
