Hitta derivata både grafiskt och algebraiskt

Du får denna bild på en tredjegradsfunktion som en graf, men du får ingen mer information om grafen annat än att y=f(x) som inte är mycket till hjälp. Hur går du tillväga för att "först bestämma grafiskt och sedan algebraiskt alla lösningar till ekvationen f ' (x)=1?

Jag tänker såhär:

Grafiskt: f'(x)=1 borde ju vara i närheten av f'(x)=0, alltså precis innan maximipunkten och precis efter minimipunkten. För att grafiskt lösa det så testar jag mig fram mellan olika värden på grafen tills jag får svaret 1. Använder mig av $\frac{∆ y}{∆ x}$ -formeln. Eller är detta den algebraiska metoden? Hur hade ni gjort? Finns det något sätt att räkna ut det på som jag har missat?

Och en liten liten sak till! Vad blir derivatan till $4^{5 x}$ ? Tusen tack på förhand!

Du kan rita in linjen y = x och tänka dig att du förkjuter den upp/ner tills den tangerar kurvan. Då tycker jag att det finns en lösning runt x = 0 och x = kanske 2.7.

För att räkna analytiskt så kan du använda dig av att du vet de tre nollställena och även att t.ex f(0) = 3. Det ger f(x).

Är du med på att $4^{5 x} = e^{\ln 4 \times 5 x}$ ?

Hej!

Jag är med på din beskrivning av det grafiska, tack för ditt svar!

Dock förstår jag inte riktigt derivatan.. Varför e? Ett liknande tal är ju $4 x 4^{x} = 4 (\ln 4) 4^{x}$ . Varför skiljer sig svaren så mycket?

Det är $4^{5 x}$ som är lika med $e^{\ln 4 \cdot 5 x}$ , inte derivatan, men e-upphöjt-till-nånting är ganska lätt att derivera. Kan du derivera den omskrivna funktionen?

Jaha, jag missförstod det tidigare. Är derivatan till $4^{5 x}$ i så fall: $\ln 4 \cdot 5 x e^{\ln 4 \cdot 5 x}$ ?

Inte riktigt, exponentialuttrycket blir i sig oförändrat, och kan bytas tillbaka till $4^{5 x}$ , men den så kallade inre derivatan är 5 ln 4.

Man kan även derivera så här: $y = 4^{5 x}, \ln y = 5 x \ln 4, \frac{y'}{y} = 5 \ln 4$

$\ln 4 \cdot 4^{5 x}$ ?

Vart blev femman av nu då?

Haha med risk för att göra bort mig igen: $\ln 4 \cdot 5 x \cdot 4^{5 x}$ ??

Tyvärr hände det igen...

Vad blir derivatan då?

Det hade varit bättre om du hade gjort en separat tråd för derivata-frågan.

Funktionen $f (x) = 4^{5 x} = (e^{\ln 4})^{5 x} = e^{5 \ln 4 x}$ har derivatan $f' (x) = 5 \ln 4 e^{5 \ln 4 x} = 5 \ln 4 \cdot 4^{5 x}$ . Funktionen $e^{x}$ har ju derivatan $e^{x}$ , och om e är upphöjt till nånting krångligt blir derivatan (derivatan av nånting krångligt)* e^(nånting krångligt).

smaragdalena skrev :
Det hade varit bättre om du hade gjort en separat tråd för derivata-frågan.
Funktionen $f (x) = 4^{5 x} = (e^{\ln 4})^{5 x} = e^{5 \ln 4 x}$ har derivatan $f' (x) = 5 \ln 4 e^{5 \ln 4 x} = 5 \ln 4 \cdot 4^{5 x}$ . Funktionen $e^{x}$ har ju derivatan $e^{x}$ , och om e är upphöjt till nånting krångligt blir derivatan (derivatan av nånting krångligt)* e^(nånting krångligt).

Tack så mycket för dina svar! Jo det skulle jag gjort, men jag visste inte att det skulle bli en sådan diskussion om derivatafrågan - att jag hade så fel. Haha :)

Svara

Visa senaste svar