Hitta den sista roten till ekvationen
Hej!
Har fastnat på följande b-uppgift:
Ekvationen z^3+az^2+bz=20 har en rot z1=2i
a) Bestäm de reella konstanterna a och b.
b) Bestäm ekvationens övriga rötter.
Jag har redan löst a)-uppgiften och kommit fram till att konstanten a= -5, samt b= 4, vilket stämmer med facit. Då blir ekvationen z3-5z2 + 4z-20
Däremot lyckas jag inte lösa b)-uppgiften fullständigt. Jag vet att en av de två återstående rötterna är z= -2i, för att det är konjugatet till den första roten. Men när jag försöker hitta den sista roten lyckas jag inte riktigt.
Såhär har jag gjort:
f(z) = k (z-c)3 eftersom två av rötterna är imaginära borde det betyda att det bara finns ett nollställe för funktionen, som jag betecknar med c.
Utvecklar jag detta blir det:
k (z3-3z2c+3zc2 -c3) och eftersom konstanten framför z3 är 1 enligt ekvationen ovan bör k=1.
Därför tänkte jag att jag kunde jämföra -3z2c med -5z2 för att få fram c. Då får jag att c blir 5/3. Men när jag stoppar in det i ekvationen stämmer inte de andra talen. Exempelvis blir inte (5/3)3 20, vilket innebär att c= 5/3 inte är en lösning.
Är det så att min metod är fel? Hur bör uppgiften lösas?
Tack på förhand!
Om din metod är fel är jag tveksam till, men det är nog tänkt att du ska använda polynomdivision. Dividera antingen med en av rötterna, eller multiplicera ihop dem () och dividera med produkten av dem. Då får du en faktor i polynomet över, och utifrån den kan du läsa av den sista roten. :)
Ampere skrev:Såhär har jag gjort:
f(z) = k (z-c)3 eftersom två av rötterna är imaginära borde det betyda att det bara finns ett nollställe för funktionen, som jag betecknar med c.
Generellt gäller det (precis som i det reella fallet) att f(z) = k(z-z1)(z-z2)(z-z3), där k är en konstant och där z1, z2och z3 är funktionens nollställen.
Din ansats f(z) = k(z-c)3 gäller alltså endast om alla tre rötterna är c, dvs om funktionen har en trippelrot vid z = c. Eftersom vi vet att alla tre rötter är olika så gäller inte det.
Är det så att min metod är fel?
Ja, se ovan.
Hur bör uppgiften lösas?
Se tips från Smutstvätt.
En kommentar för b) uppgiften, om p(z) har reella koefficienter och en rot är konplex så häller det att komjugatet också är en rot.
Här får vi veta att är en rot till p(z), men eftersom vi vet att p(z) har reella koefficienter så måste det gälla att konjugatet till också är en rot. Vi vet alltså att där vi intr har bestämt a ännu. Denna kan bestämmas mha polynomdivision (Se Smutstvätts inlägg ovan) eller genom att matcha HL och VL och bestämma konstanten a så att de är lika.
Det är enkelt att bevisa satsen ovan men jag tror inte man gör det i matte 4, man accepterar nog bara att det är så.
Tack för alla svar! Nu förstår jag varför den här metoden inte fungerade! Ska göra såsom Smutstvätt föreslog och är säker på att jag får lösningen då :)
