Hitta den primitiva funktionen

Är det tillåtet att "fuska"?

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_hyperbolic_functions

$\displaystyle\int\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\, dx$.

Sätt $t=e^x+e^{-x},\quad dt=(e^x-e^{-x})dx$, varav

$\displaystyle\int \dfrac{dt}{t}$ osv.

Vi vet att funktionen:
$F\left(x\right)=\ln \left(f\right(x\left)\right)$

har derivatan:
$F\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}*f\text{'}\left(x\right)$

Så man skulle då kunna säga att din funktion:
$f\left(x\right)=\frac{1}{e^x+e^{-x}}*(e^x-e^{-x})$

Borde ha primitiv funktion:

$f\left(x\right)dx = \ln (e^x+e^{-x})$

För detta kräver att:

$\frac{d}{dx}\left[e^x+e^{-x}\right]=e^x-e^{-x}$

Vilket stämmer.

Truppeduppe skrev:

Vi vet att funktionen:
$F\left(x\right)=\ln \left(f\right(x\left)\right)$

har derivatan:
$F\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}*f\text{'}\left(x\right)$

Så man skulle då kunna säga att din funktion:
$f\left(x\right)=\frac{1}{e^x+e^{-x}}*(e^x-e^{-x})$

Borde ha primitiv funktion:

$f\left(x\right)dx = \ln (e^x+e^{-x})$

För detta kräver att:

$\frac{d}{dx}\left[e^x+e^{-x}\right]=e^x-e^{-x}$

Vilket stämmer.

Bra förklarat, tack så mkt!