Hitta den generella lösningen till differentialekvationen

Hej alla,

Jag har stött på en differentialekvation som jag behöver hjälp med att lösa. Uppgiften är att hitta den generella lösningen till differentialekvationen:

$\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}$

där matrisen $A$ har egenvärdena 2 och 1 med de respektive egenvektorerna $[2,-3]^{T}$ och $[-3,5]^{T}$.

Jag har försökt att lösa problemet själv, men jag fastnar och skulle uppskatta om någon kunde vägleda mig i rätt riktning. Här är min tankegång hittills:

Vi vet att egenvärdena och egenvektorerna för matrisen $A$ är:

Egenvärde 1: $\lambda_1 = 2$

Egenvektor 1: $\mathbf{v_1} = [2,-3]^{T}$

Egenvärde 2: $\lambda_2 = 1$

Egenvektor 2: $\mathbf{v_2} = [-3,5]^{T}$

För att hitta den generella lösningen kan vi skriva:

$\mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v_1} e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v_2} e^{\lambda_2 t}$

där $c_1$ och $c_2$ är konstanter som ska bestämmas, men jag misstänker att vi inte har initiala villkor och därför ska det enbart stå c?

Här är jag osäker på hur jag kan fortsätta för att hitta de okända konstanterna och slutgiltiga lösningen. Vilken strategi eller metod skulle fungera bäst för att lösa denna typ av differentialekvation?