Hitta den allmänna formeln (induktion)

Obs! Min fråga berör uppgift c !!

Fråga:

Jag har inga problem att lösa uppgift a och b och fick den allmänna formeln till $a_{n} = 2^{n - 1}$ . Jag funderar på om det finns något sätt att härleda varför c hamnar i basen? Enligt facit så blir svaret

$a_{n} = c^{n - 1} f ö r a l l a n \geq 1$
men jag förstår inte hur. Går det att använda sig av uppgift a eller b för att härleda den allmänna formeln då $a_{n} = c$ ?

$a_{n} = \frac{{a^{2}}_{n - 1}}{a_{n - 2}} a_{1} = 1, a_{2} = c a_{3} = \frac{c^{2}}{1} = c^{2} a_{4} = \frac{c^{4}}{c} = c^{3} . . .$

Nu kan du som i uppgift b kanske gissa en allmän formel och sedan bevisa den m.h.a exempelvis induktion. Är det svar på frågan?

Moffen skrev:
$a_{n} = \frac{{a^{2}}_{n - 1}}{a_{n - 2}} a_{1} = 1, a_{2} = c a_{3} = \frac{c^{2}}{1} = c^{2} a_{4} = \frac{c^{4}}{c} = c^{3} . . .$
Nu kan du som i uppgift b kanske gissa en allmän formel och sedan bevisa den m.h.a exempelvis induktion. Är det svar på frågan?

Tack Moffen! Ja det var svar på frågan :) Jag testade att bevisa den allmänna formeln m.h.a induktion:
Är det något som kan förtydligas eller något som är felaktigt i mitt bevis?

Jag tycker att det ser bra ut. Skulle du skriva det på en tenta skulle jag kanske lägga till 2 saker:

1. Visa tydligt vart du använder induktionsantagandet.

2. Har hört att vissa är väldigt hårda på att man även ska ha med typ något i stil med "och tack vare induktionsprincipen gäller det alltså för alla n" i slutet när man är klar, eller något liknande (tycker själv det är lite "over the top", bara man gör det tydligt att man använder induktionsbevis t.ex. i början av uppgiften). Men vad vet jag, jag är ingen lärare.

Din formel ger att $a_2 = 2^{2-1} = 2$ , så att du också kan skriva din formel som

$a_n = a_2^{n-1}.$

Moffen skrev:
Jag tycker att det ser bra ut. Skulle du skriva det på en tenta skulle jag kanske lägga till 2 saker:
1. Visa tydligt vart du använder induktionsantagandet.

Menar du typ av jag skriver något i stil med:
"Steg 2: Mitt induktionsantagande är att $a_{n} = c^{n - 1} f ö r a l l a n \geq 1$
Steg 3: induktionssteget: jag vill visa att då gäller även $a_{n + 1} = c^{n}$ . med rekursionsformeln och induktionsantagandet får vi
att: ... "

2. Har hört att vissa är väldigt hårda på att man även ska ha med typ något i stil med "och tack vare induktionsprincipen gäller det alltså för alla n" i slutet när man är klar, eller något liknande (tycker själv det är lite "over the top", bara man gör det tydligt att man använder induktionsbevis t.ex. i början av uppgiften). Men vad vet jag, jag är ingen lärare.

Bra synpunkt :)

Nja, mer att du kanske bara nämner ovanför likhetstecknet att du använder induktionsantagandet för att ta dig till nästa likhet.

Svara

Visa senaste svar