Hitta basbytesmatris
Kan någon på ett enkelt sätt förklara hur man hittar basbytesmatrisen? Jag har hittat få förståeliga metoder, och alla verkar säga olika saker. Till slut hade jag landat i följande metod, men jag gjorde en uppgift nyss med den metoden och det blev fel.
Låt basmatris 1 = A, basmatris 2 = B, basbytesmatrisen = P. Vi vill göra ett basbyte från A till B.
1. Ställ upp
2. Gör radoperationer så att vi får identitetsmatrisen I i "VL"
3. Nu har vi
Går det att modifiera den här metoden så att den blir rätt, ifall det bara är jag som fattat nåt fel? Om inte, kan någon vänligen visa en annan enkel steg-för-steg-metod?
Posta uppgiften så kan vi gå igenom den
I steg 1 ställer du upp ekvationen BP = A och i steg 3 har du lösningen (IP = P, där I är identitetsmatrisen så du kan läsa ut P i högra delen), dvs P = B^(-1)*A
Det betyder att du har basbytesmatrisen P för att gå från basen B till basen A (genom att multiplicera till höger med P). Nu beror det på vad frågan var om för basbyte:
1) Var det att gå från basen B till basen A? I så fall har du rätt svar, men om det var från A till B får du vända på det.
2) Eller var det hur koordinaterna i basen A transformeras till koordinater i basen B, i så fall har du med koordinaterna x i basen A och koordinaterna y i basen B att Ax = By och därmed y = B^(-1) A x = Px och P är basbytesmatrisen för koordinater i basen A till koordinater i basen B.
3) Eller har du en linjär avbildning som ges av matrisen T i basen A som du vill göra basbyte på till en matris S i basen B? I så fall har du att en vektor v, med koordinater x i basen A och koordinater u i basen B, dvs v = Ax = Bu, som ska transformeras till w, med koordinater z i basen A och koordinater r i basen B, av T i basen A, dvs w = Az = A*(Tx) = A*(T*A^(-1)v) = B*B^(-1)*A*(T*A^(-1)*B*u) = B*P*T*P^(-1)*u = Br, dvs w = Br = B*(Su), dvs S = P*T*P^(-1).
Jaha ... jag trodde att det bara fanns 1 basbytesmatris som alltid gäller så fort man ska byta bas på något sätt. Den här metoden har jag använt:
Men nu sades det ju att "Var det att gå från basen B till basen A? I så fall har du rätt svar, men om det var från A till B får du vända på det." Varför det? I fallet med min uppgift ger det rätt svar, men då går jag ju emot bokens metod.
