1 svar
46 visningar
Dani163 1035
Postad: 15 maj 2023 23:52 Redigerad: 16 maj 2023 00:14

Hitta avstånd och vinkel mellan två polynom i rummet av kontinuerliga funktioner

Hej!

Jag har svårt att hitta avståndet och vinkeln mellan två polynom i rummet av kontinuerliga funktioner över intervallet [0,1][0,1]. Det inre produkten av detta rum är definierad som:
⟨f,g⟩=∫01f(t)g(t)dt\langle f, g\rangle=\int_0^1 f(t) g(t) d t
De två polynomen i fråga är p(t)=1+tp(t)=1+t och q(t)=1+t2q(t)=1+t^2.

Jag har försökt använda formeln för avståndet mellan två vektorer i ett inre produktrum:
‖p-q‖=⟨p-q,p-q⟩\|p-q\|=\sqrt{\langle p-q, p-q\rangle}

Genom att använda formeln för avståndet mellan två vektorer i ett inre produktrum har jag fått:
‖p-q‖ =⟨p-q,p-q⟩=∫011+t-t22dt=4130≈1.16905\|p-q\|  =\sqrt{\langle p-q, p-q\rangle} \ =\sqrt{\int_0^1\left(1+t-t^2\right)^2 d t} \ =\sqrt{\frac{41}{30}} \approx 1.16905

Och genom att använda formeln för vinkeln mellan två vektorer i ett inre produktrum har jag fått:
cos∠(p,q)=⟨p,q⟩‖p‖‖q‖=∫01(1+t)1+t2∫01(1+t)2∫011+t2=25556≈0.998\cos \angle(p, q) =\frac{\langle p, q\rangle}{\|p\|\|q\|} \ =\frac{\int_0^1(1+t)\left(1+t^2\right)}{\sqrt{\int_0^1(1+t)^2} \sqrt{\int_0^1\left(1+t^2\right)}} \ =\frac{25 \sqrt{5}}{56} \approx 0.998

Är detta korrekt? Och
arccos25556·180π=3.39535°\arccos \left(\frac{25 \sqrt{5}}{56}\right) \cdot \frac{180}{\pi}=3.39535^{\circ}
är vinkeln mellan polynomen?

0
#1
Dani163 1035
Postad: 16 maj 2023 00:19 Redigerad: 16 maj 2023 00:56

Kan någon bekräfta att jag har gjort rätt nedanför?

Jag märkte att jag kanske gjorde fel i mitt ursprungliga inlägg när jag skulle hitta avståndet mellan två polynom. Såhär fick jag det korrigerat:

‖p-q‖=⟨p-q,p-q⟩\|p-q\|=\sqrt{\langle p-q, p-q\rangle}

Därefter kan vi substituera in $p(t) - q(t) = -t^2 + t$ i det inre produkten som ges av:

⟨f,g⟩=∫01f(t)g(t)dt\langle f, g\rangle=\int_0^1 f(t) g(t) d t

Då får vi:

‖p-q‖=⟨p-q,p-q⟩=∫01(-t2+t)2dt=∫01(t4-2t3+t2)dt=t55-t42+t3301=15-12+13=130\|p-q\| =\sqrt{\langle p-q, p-q\rangle} =\sqrt{\int_0^1 (-t^2 + t)^2 d t} =\sqrt{\int_0^1 (t^4 - 2t^3 + t^2) d t} =\sqrt{\left[\frac{t^5}{5} - \frac{t^4}{2} + \frac{t^3}{3}\right]_0^1} =\sqrt{\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}} =\sqrt{\frac{1}{30}}

Sen nu behöver jag bara hitta vinkeln mellan dessa två polynom. Vi använder formeln:

cos∠(p,q)=⟨p,q⟩‖p‖‖q‖\cos \angle(p, q) = \frac{\langle p, q\rangle}{\|p\|\|q\|}

Vi vet redan att $\|p\|$ och $\|q\|$ är $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ och $\frac{2}{\sqrt{3}}$ enligt utvärderingen av integralerna som skrevs:

∫01(1+t)1+t2dt,∫01(1+t)2dt,∫011+t2dt\left\{\sqrt{\int_0^1(1+t)\left(1+t^2\right) d t}, \sqrt{\int_0^1(1+t)^2 d t}, \sqrt{\int_0^1\left(1+t^2\right) d t}\right\}

523,73,23\left\{\frac{5}{2 \sqrt{3}}, \sqrt{\frac{7}{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\right\}

Vi kan sedan utvärdera det inre produkten $\langle p, q\rangle$ på följande sätt:

⟨p,q⟩=∫01(1+t)(1+t2)dt=∫01(1+t+t2+t3)dt=t+t22+t33+t4401=523\langle p, q\rangle = \int_0^1 (1 + t)(1 + t^2) dt = \int_0^1 (1 + t + t^2 + t^3) dt = \left[t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{4}\right]_0^1 = \frac{5}{2\sqrt{3}}

Så vi får:

cos∠(p,q)=⟨p,q⟩‖p‖‖q‖=5237323\cos \angle(p, q) = \frac{\langle p, q\rangle}{\|p\|\|q\|} = \frac{\frac{5}{2\sqrt{3} } }{\sqrt{\frac{7}{3} } \frac{2}{\sqrt{3}}}

Vi kan sedan använda arccos-funktionen för att beräkna vinkeln:

∠(p,q)=arccos5473·180π≈35.08°\angle(p, q) = \arccos \frac{5}{4 \sqrt{\frac{7}{3}}} \cdot \frac{180}{\pi} \approx 35.08°

Så vinkeln mellan polynomen är ungefär 35.08°.

0
#2
Svara
Close