hitta asymptoter

Jag tror så här

Definitionsmängden är $\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{gathered}$$

Detta betyder att den inte har någon asymptot.

Edit: Detta betyder att grafen inte har nån asymptot som är parallell med någon av x- eller y-axel.

En asymptot kan vara sned, och då går den själv mot oändligheten, så att det finns en asymptot motsägs inte av att funktionen är obegränsad. 

Laguna skrev:

En asymptot kan vara sned, och då går den själv mot oändligheten, så att det finns en asymptot motsägs inte av att funktionen är obegränsad. 

Det stämmer 

Vi ska först skriva om f(x)= $2arc\tan x-x+\frac{x}{x^2+1}$

Om vi ska hitta asymptoter så gör vi såhär 

y₁=ax+b är en asymptot så gäller det att $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\right(x)-y1)=0$

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\right(x)-ax-b)=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }(2arc\tan x-x+\frac{x}{x^2+1}-ax-b)=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }(2arc\tan x +(-a-1)x+\frac{x}{x^2+1}-b)=0 \\ Vi vet att \underset{x\to +\infty }{lim}2arctanx =\pi och \underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x}{x^2+1} =0 \\ \underset{x\to +\infty }{lim}( \pi +(-a-1)x-b)=0 \\ \underset{x\to +\infty }{lim}( (-a-1)x+\pi -b)=0 \\ Detta betyder att -a-1=0 och \pi -b=0 \\ Detta betyder att a=-1 och b=\pi \\ Så vi har en asymptot vars ekvation är y=-x+\pi \end{gathered}$$

Och sen på samma sätt när x går mot -$\infty$ så har vi en till  asymptot vars ekvation är y=-x-$\mathrm{\pi }$

Jag tycker om att räkna ut sneda asymptoter genom att sätta funktionen lika med kx+m när den går mot någon oändlighet.

Så f=kx+m delat på x blir f/x-m/x=k, och m/x går mot 0 så den kan man strunta i. Då är det bara dela f, alltså den funktionen du fick, med x och så är k gränsvärdet mot oändligheten.

Sen när man vet k så löser man ut m, så m=f-kx och ser vad det blir när x-->oo.

Det är ju samma uträkningar som ovan, men tycker det är enklare att se vad stegen gör om man skriver upp så.