Hitta arean med integral

Det kan du veta med hjälp av det här tankesättet:

Generellt gäller att arean mellan två kurvor f(x) och g(x) är lika med integralen av ("övre funktionen" minus "undre funktionen").

Låt g(x) = 0, dvs grafen till g(x) är x-axeln.

• Om nu grafen till f(x) ligger ovanför x-axeln så är f(x) den "övre funktionen" och g(x) den "undre funktionen". Då är arean mellan f(x) och x-axeln lika med integralen av (f(x) - g(x)), dvs integralen av (f(x) - 0), dvs integralen av f(x).
• Om istället grafen till f(x) ligger under x-axeln så är g(x) den "övre funktionen" och f(x) den "undre funktionen". Då är arean mellan f(x) och x-axeln lika med integralen av (g(x) - f(x)), dvs integralen av (0 - f(x)), dvs integralen av (-f(x)), dvs minus integralen av f(x).

aha, jag tror jag har sätt för mig att på andra uppgifter, så är minus inkluderad i uträkningen. är det det samma som det här? 

Alltså, kunne jag ha skrevet det såhär? 
${\int }_0^9(-\sqrt{x}+3)dx$

Jag vet inte på vilket sätt minus har varit inblandat i de andra uträkningarna du nämner, men i den här uppgiften så gäller att $g(x)=0$ och att $f(x)=\sqrt{x}-3$.

Eftersom grafen till $g(x)$ ligger ovanför grafen till $f(x)$ i intervallet så är $g(x)$ den "övre funktionen" och $f(x)$ den "undre funktionen" och arean är därmed lika med

$\int_0^9(g(x)-f(x))\operatorname dx=$

$=\int_0^9(0-(\sqrt{x}-3)\operatorname dx=$

$=\int_0^9(3-\sqrt{x})\operatorname dx$

Så ja, du hade kunnat skriva som du nu skrev.

Det viktiga är att du förstår varför du kan skriva så och att du inte bara gör det av slentrian.

Det blir minus pga övre funktion är 0 och "0 - (f(x) ==> -f(x)" 

Frågan var jo egentlig varför det var minus utanför integralet, men nu fattar jag. Det är ingen skillnad på facit jag la ut i och mitt förslag i svar 2. 

Ja, det gäller att $\int_a^b-f(x)\operatorname dx=-\int_a^bf(x)\operatorname dx$