Hitta arean av en integral

Hej, en uppgift ur boken vill att jag ska lösa uppgiften enbart genom att "använda egenskaperna hos den bestämda integralen och tolka integraler som area" (Eng. "using the properties of the definite integral and interpreting integrals as areas").

$\int_{0}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Jag testade för att se ifall funktionen är jämn vilket den är. Sedan försökte jag lösa problemet med hjälp av geometri, använde cirklens ekvation $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ , där jag fick $y = + \sqrt{R^{2} - x^{2}}$ .

För att lösa arean, använde jag ekvationen för arean av en cirkel. $A = {πr}^{2}$ , men efterom jag endast använder halva utav cirkelns ekvation så delar jag arean på 2. Jag fick svaret $2 π$ . Men enligt facit missade jag en del, som jag inte riktigt förstå mig på och skulle gärna uppskatta en förklaring.

Svaret ur facit:

Pi/3 är arean på ”tårtbiten” och sqrt(3)/2 är arean på triangeln.

Sträckan OP är lika med 2.

JohanF skrev:
Pi/3 är arean på ”tårtbiten” och sqrt(3)/2 är arean på triangeln.

Sträckan OP är lika med 2.

Hej, jag förstår fortfarande inte riktigt hur tankegången ska gå till för att komma fram till det.

Rätvinklig triangel med hypotenusa 2, och katet 1. Det ger att andra katet är sqrt(3).

Arean=(b*h)/2=(sqrt(3)*1)/2

Vinkeln i tårtbiten är arcsin(1/2)=30 grader.

(30/360)*pi*r*r = pi/3

Tänk dig att du har en Hönökaka (halvcirkel) och skär den i 4 delar, så att varje bit är lika lång längs diametern, och alla snitt är vinkelräta mot diametern (bitarna passar kanske bättre i brörrosten då?). Den önskade arean är arean av en av de stora bitarna.

Svara

Visa senaste svar