Hitta alla rötter till ekvationen

Hittade de.

Var en rot jag hade missat dock som jag inte förstår hur jag kommer fram till och det är följande: $x7=-(-1{)}^{3/5}\times \sqrt[5]{2-\sqrt{3}}$. Hur kan det bli så?

Hur gjorde du för att lösa ekvationen $x^5=z$ för de båda z-värdena? Jag skulle gå över till polära koordinater.

Du borde hitta 5 värden till vardera, snyggt arrangerade på var sin cirkel i det komplexa talplanet.

Smaragdalena skrev:

Hur gjorde du för att lösa ekvationen $x^5=z$ för de båda z-värdena? Jag skulle gå över till polära koordinater.

Du borde hitta 5 värden till vardera, snyggt arrangerade på var sin cirkel i det komplexa talplanet.

 Nu blev det rätt, Tack!

Ska vara en rot till enligt facit också. Med x^(5)=-$\sqrt{3}+2$ antar jag. Men får inte fram den.. Roten är tydligen -$\sqrt[5]{\sqrt{3}-2}$. Tacksam om jag kan få lite vägledning.,

Hej!

Du har noterat att din ekvation är en andragradsekvation i $x^5$,

    $(x^5)^2-4x^5+1 = 0 \iff (x^5-2)^2=3.$

Du vill finna alla komplexa tal ($x$) som löser ekvationen och då är det lämpligt att skriva det komplexa talet $x^5-2$ på polär form $re^{iv}$ där $0\leq v <>$ och $r\geq 0$ vilket ger

    $r^2e^{i2v} = 3.$

Skriv sedan det komplexa talet $3+i0$ på polär form $3+i0=3e^{i0+i2\pi n}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal så att din ekvation blir

    $r^2e^{i2v}=3e^{i2\pi n} \iff r=\sqrt{3} \text{ och } v=\pi n.$ 

Du vet nu att $x^5-2=\sqrt{3}e^{i\pi n}\iff x^5 = 2+\sqrt{3}\cos \pi n + i\sqrt{3}\sin \pi n \iff x^5 = 2+(-1)^{n}\sqrt{3}+i0.$

Skriv nu det komplexa talet $x$ på polär form $Re^{iu}$ och det komplexa talet $2+(-1)^{n}\sqrt{3}+i0$ på polär form $(2+(-1)^n\sqrt{3})e^{i0+i2\pi m}$ där $m$ betecknar ett godtyckligt heltal.  Din ekvation blir nu R^5e^{i5u} = (2+(-1)^n\sqrt{3})e^{i2\pi m} \iff R = \sqrt[5]{2+(-1)^{n}\sqrt{3}} \text{ och } u=(2\pi m)/5. 

Lösningarna till den ursprungliga tiondegradsekvationen är de komplexa talen

    $x = \sqrt[5]{2+(-1)^{n}\sqrt{3}}e^{i 2\pi m/5}$ där $n = 0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ och $m=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots.$

Ekvationen har exakt tio lösningar så det gäller att finna lämpliga $n$ och $m$. 

• Om $n$ är jämnt heltal (positivt eller negativt) så är $2+(-1)^{n}\sqrt{3} = 2+\sqrt{3}$ och lösningarna är $\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}e^{i2\pi m/5}$. 
  • För $m=0$ blir $x=\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}.$
  • För $m=1$ blir $x=\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos 2\pi/5 + i\sin 2\pi/5).$ 
  • För $m=2$ blir $x=\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos 4\pi/5+i\sin 4\pi/5).$
  • För $m=3$ blir $x=-\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos\pi/5+i\sin \pi/5).$
  • För $m=4$ blir $x=-\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos 3\pi/5+i\sin 3\pi/5).$
• Om $n$ är ett udda heltal (positivt eller negativt) så är $2+(-1)^{n}\sqrt{3} = 2-\sqrt{3}$ och lösningarna är följande.
  • För $m=0$ blir $x=\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}.$
  • För $m=1$ blir $x=\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos 2\pi/5+i\sin2\pi/5).$
  • För $m=2$ blir $x=\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos 4\pi/5+i\sin4\pi/5).$
  • För $m=3$ blir $x=-\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos \pi/5+i\sin \pi/5).$
  • För $m=4$ blir $x=-\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos 3\pi/5+i\sin 3\pi/5).$

Där har du samtliga lösningar till din tiondegradsekvation. :)

Albiki skrev:

Hej!

Du har noterat att din ekvation är en andragradsekvation i $x^5$,

    $(x^5)^2-4x^5+1 = 0 \iff (x^5-2)^2=3.$

Du vill finna alla komplexa tal ($x$) som löser ekvationen och då är det lämpligt att skriva det komplexa talet $x^5-2$ på polär form $re^{iv}$ där $0\leq v <>$ och $r\geq 0$ vilket ger

    $r^2e^{i2v} = 3.$

Skriv sedan det komplexa talet $3+i0$ på polär form $3+i0=3e^{i0+i2\pi n}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal så att din ekvation blir

    $r^2e^{i2v}=3e^{i2\pi n} \iff r=\sqrt{3} \text{ och } v=\pi n.$ 

Du vet nu att $x^5-2=\sqrt{3}e^{i\pi n}\iff x^5 = 2+\sqrt{3}\cos \pi n + i\sqrt{3}\sin \pi n \iff x^5 = 2+(-1)^{n}\sqrt{3}+i0.$

Skriv nu det komplexa talet $x$ på polär form $Re^{iu}$ och det komplexa talet $2+(-1)^{n}\sqrt{3}+i0$ på polär form $(2+(-1)^n\sqrt{3})e^{i0+i2\pi m}$ där $m$ betecknar ett godtyckligt heltal.  Din ekvation blir nu R^5e^{i5u} = (2+(-1)^n\sqrt{3})e^{i2\pi m} \iff R = \sqrt[5]{2+(-1)^{n}\sqrt{3}} \text{ och } u=(2\pi m)/5. 

Lösningarna till den ursprungliga tiondegradsekvationen är de komplexa talen

    $x = \sqrt[5]{2+(-1)^{n}\sqrt{3}}e^{i 2\pi m/5}$ där $n = 0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ och $m=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots.$

Ekvationen har exakt tio lösningar så det gäller att finna lämpliga $n$ och $m$. 

• Om $n$ är jämnt heltal (positivt eller negativt) så är $2+(-1)^{n}\sqrt{3} = 2+\sqrt{3}$ och lösningarna är $\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}e^{i2\pi m/5}$. 
  • För $m=0$ blir $x=\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}.$
  • För $m=1$ blir $x=\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos 2\pi/5 + i\sin 2\pi/5).$ 
  • För $m=2$ blir $x=\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos 4\pi/5+i\sin 4\pi/5).$
  • För $m=3$ blir $x=-\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos\pi/5+i\sin \pi/5).$
  • För $m=4$ blir $x=-\sqrt[5]{2+\sqrt{3}}(\cos 3\pi/5+i\sin 3\pi/5).$
• Om $n$ är ett udda heltal (positivt eller negativt) så är $2+(-1)^{n}\sqrt{3} = 2-\sqrt{3}$ och lösningarna är följande.
  • För $m=0$ blir $x=\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}.$
  • För $m=1$ blir $x=\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos 2\pi/5+i\sin2\pi/5).$
  • För $m=2$ blir $x=\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos 4\pi/5+i\sin4\pi/5).$
  • För $m=3$ blir $x=-\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos \pi/5+i\sin \pi/5).$
  • För $m=4$ blir $x=-\sqrt[5]{2-\sqrt{3}}(\cos 3\pi/5+i\sin 3\pi/5).$

Där har du samtliga lösningar till din tiondegradsekvation. :)

 Tack så mycket!