7 svar
748 visningar
ogrelito 198
Postad: 20 aug 2019 22:02 Redigerad: 20 aug 2019 22:04

Hitta alla rötter.

Hej!

Jag har fastnat på en uppgift.

Frågan lyder:

Hitta rötterna av polynomet  x5+x3+8x2+8.

Jag gjorde såhär:

x5+x3+8x2+8=x5+x3+8x2+8x3(x2+1)+8(x2+1)=(x2+1)(x3+8)x2+1=0x2=-1x=±i       x1=i       x2=-ix3+8=0x3=-8x3=-2              x4=-2         x5=-2 

Jag har fått rätt på 2 rötter (x=i  och x=-i)

de 3 sista vet jag inte riktigt hur jag ska få ut.

 

Jag testade även att gissa fram en rot och med hjälp av den roten använda polynomdivision.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 20 aug 2019 22:09 Redigerad: 20 aug 2019 22:24
ogrelito skrev:

Hej!

Jag har fastnat på en uppgift.

Frågan lyder:

Hitta rötterna av polynomet  x5+x3+8x2+8.

Jag gjorde såhär:

x5+x3+8x2+8=x5+x3+8x2+8x3(x2+1)+8(x2+1)=(x2+1)(x3+8)x2+1=0x2=-1x=±i       x1=i       x2=-ix3+8=0x3=-8x3=-2              x4=-2         x5=-2 

Jag har fått rätt på 2 rötter (x=i  och x=-i)

de 3 sista vet jag inte riktigt hur jag ska få ut.

 

Jag testade även att gissa fram en rot och med hjälp av den roten använda polynomdivision.

Bra början. Dina första 2 rötter är rätt.

För att lösa ut de sista 3 behöver du hitta de 3 komplexa tal zz som uppfyller sambandet z3=-8z^3=-8.

Du kan då använda

eller

  • en grafisk metod (markera då först -8 i det komplexa talplanet och sök efter vinklar som, multiplicerade med 3, blir lika med π+n·2π\pi+n\cdot2\pi radianer)

eller

  • den metod du själv prövade: Gissa roten z=-2z=-2 och använd sedan polynomdivision för att få en andragradsekvation för övriga 2 rötter (visa ditt försök så hjälper vi dig vidare där du körde fast).
ogrelito 198
Postad: 21 aug 2019 19:16 Redigerad: 21 aug 2019 19:16

Jag vill helst använda gissnings metoden eftersom vi använder den på lektionerna.

Såhär långt har jag kommit.

x4-2x3+5x2-2x+4x5+x3+8x2+8 x+2-(x5+2x4)-2x4+x3+8x2+8-(-2x4-4x3)5x3+8x2+8-(5x3+10x2)-2x2+8-(-2x2-4x)4x+8-(4x+8)0

x5+x3+8x2+8x+2= x4-2x3+5x2-2x+4

Jag tänkte då att samma gissnings metod skulle funka här också.

Men jag kan inte gissa någon mer rot.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 21 aug 2019 19:38

Är det någon sorts polynomdivision mer liggande stolen du försöker illustrera?

Om du delar polynomet x5+x3+8x2+8 med x2+1 (som du får av de båda imaginära rötterna) får du polynomet x3+8=0. Läser man matte på universitetet börman genast se att x=-2 är en lösning. Gör du en ny polynomdivision där du delar x3+8 med x+2 får du polynomet x2-2x+4=0 som du löser med pq-formeln eller med kvadratkomplettering.

ogrelito 198
Postad: 21 aug 2019 19:53

Okej! då fattar jag.

Mitt problem var att hitta de imaginära rötterna.

Jag är inte så van med att gissa fram rötterna.

Tack så mycket!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 21 aug 2019 20:20
ogrelito skrev:

Okej! då fattar jag.

Mitt problem var att hitta de imaginära rötterna.

Jag är inte så van med att gissa fram rötterna.

Tack så mycket!

De imaginära rötterna hade du hittat redan i ditt förstainlägg. Var det de komplexa rötterna du hade problem med?

Om jag skulle lösa den här uppgiften skulle jag börja med att kolla om det finns några "enkla" tal som är rötter. Att x=0 inte är en rot ser man direkt. x=1 funkar inte, x=-1 funkar inte, x=2 funkar inte, men x=-2 funkar. Polynomdivision ger fjärdegradspolynomet x4-2x3+5x2-2x+4 och då hoppas jag  att jag skulle ha sett att x2+1 är en faktor.

ogrelito 198
Postad: 21 aug 2019 21:31

Tack nu fick jag en mycket bättre inblick för hur jag ska lösa uppgiften.

Affe Jkpg 6630
Postad: 21 aug 2019 22:35

Du har ju redan tre rötter och söker de andra två!

(x2+1)(x+2)(x2+Bx+4)=(x3+2x2+x+2)(x2+Bx+4)=x5+x3+8x2+8Bx4+2x4=0......B=-2

Man kan roa sig med att prova på flera sätt om B-värdet stämmer :-)

Sedan återstår det bara pq-formeln för att lösa de två sökta rötterna

Svara
Close