Hitta alla rötter.

Hej!

Jag har fastnat på en uppgift.

Frågan lyder:

Hitta rötterna av polynomet $x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8$ .

Jag gjorde såhär:

$x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8 = (x^{5} + x^{3}) + (8 x^{2} + 8) x^{3} (x^{2} + 1) + 8 (x^{2} + 1) = (x^{2} + 1) (x^{3} + 8) x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1 x = \pm i x_{1} = i x_{2} = - i x^{3} + 8 = 0 \Rightarrow x^{3} = - 8 x_{3} = - 2 x_{4} = - 2 x_{5} = - 2$

Jag har fått rätt på 2 rötter (x=i och x=-i)

de 3 sista vet jag inte riktigt hur jag ska få ut.

Jag testade även att gissa fram en rot och med hjälp av den roten använda polynomdivision.

ogrelito skrev:
Hej!
Jag har fastnat på en uppgift.
Frågan lyder:
Hitta rötterna av polynomet $x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8$ .
Jag gjorde såhär:
$x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8 = (x^{5} + x^{3}) + (8 x^{2} + 8) x^{3} (x^{2} + 1) + 8 (x^{2} + 1) = (x^{2} + 1) (x^{3} + 8) x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1 x = \pm i x_{1} = i x_{2} = - i x^{3} + 8 = 0 \Rightarrow x^{3} = - 8 x_{3} = - 2 x_{4} = - 2 x_{5} = - 2$
Jag har fått rätt på 2 rötter (x=i och x=-i)
de 3 sista vet jag inte riktigt hur jag ska få ut.

Jag testade även att gissa fram en rot och med hjälp av den roten använda polynomdivision.

Bra början. Dina första 2 rötter är rätt.

För att lösa ut de sista 3 behöver du hitta de 3 komplexa tal $z$ som uppfyller sambandet $z^3=-8$ .

Du kan då använda

de Moivres formel (skriv då först $-8$ på polär form)

eller

en grafisk metod (markera då först -8 i det komplexa talplanet och sök efter vinklar som, multiplicerade med 3, blir lika med $\pi+n\cdot2\pi$ radianer)

eller

den metod du själv prövade: Gissa roten $z=-2$ och använd sedan polynomdivision för att få en andragradsekvation för övriga 2 rötter (visa ditt försök så hjälper vi dig vidare där du körde fast).

Jag vill helst använda gissnings metoden eftersom vi använder den på lektionerna.

Såhär långt har jag kommit.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 2} \frac{- (x^{5} + 2 x^{4})}{- 2 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} + 8} \frac{- (- 2 x^{4} - 4 x^{3})}{5 x^{3} + 8 x^{2} + 8} \frac{- (5 x^{3} + 10 x^{2})}{- 2 x^{2} + 8} \frac{- (- 2 x^{2} - 4 x)}{4 x + 8} \frac{- (4 x + 8)}{0}$

$\frac{x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8}{x + 2} = x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4$

Jag tänkte då att samma gissnings metod skulle funka här också.

Men jag kan inte gissa någon mer rot.

Är det någon sorts polynomdivision mer liggande stolen du försöker illustrera?

Om du delar polynomet x⁵+x³+8x²+8 med x²+1 (som du får av de båda imaginära rötterna) får du polynomet x³+8=0. Läser man matte på universitetet börman genast se att x=-2 är en lösning. Gör du en ny polynomdivision där du delar x³+8 med x+2 får du polynomet x²-2x+4=0 som du löser med pq-formeln eller med kvadratkomplettering.

Okej! då fattar jag.

Mitt problem var att hitta de imaginära rötterna.

Jag är inte så van med att gissa fram rötterna.

Tack så mycket!

ogrelito skrev:
Okej! då fattar jag.
Mitt problem var att hitta de imaginära rötterna.
Jag är inte så van med att gissa fram rötterna.
Tack så mycket!

De imaginära rötterna hade du hittat redan i ditt förstainlägg. Var det de komplexa rötterna du hade problem med?

Om jag skulle lösa den här uppgiften skulle jag börja med att kolla om det finns några "enkla" tal som är rötter. Att x=0 inte är en rot ser man direkt. x=1 funkar inte, x=-1 funkar inte, x=2 funkar inte, men x=-2 funkar. Polynomdivision ger fjärdegradspolynomet x⁴-2x³+5x²-2x+4 och då hoppas jag att jag skulle ha sett att x²+1 är en faktor.

Tack nu fick jag en mycket bättre inblick för hur jag ska lösa uppgiften.

Du har ju redan tre rötter och söker de andra två!

$(x^{2} + 1) (x + 2) (x^{2} + B x + 4) = (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) (x^{2} + B x + 4) = x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8 B x^{4} + 2 x^{4} = 0 . . . \Rightarrow . . . B = - 2$

Man kan roa sig med att prova på flera sätt om B-värdet stämmer :-)

Sedan återstår det bara pq-formeln för att lösa de två sökta rötterna

Svara

Visa senaste svar