Hitta alla matriser som bevarar area och transformerar (1,1) på (4,3)

Hej!

Jag har en till fråga relaterad till Linjär Algebra som jag har klurat på i över två timmar nu men jag lyckas verkligen inte förstå hur jag ska bära mig åt för att lösa.

Jag har en linjär transformation från $T : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ som bevarar arean och som alltid gör följande $T ([\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]) = [\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}]$

och jag behöver finna alla matriser som uppfyller dessa krav.
Det jag gjort hittills är $A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a + b \\ c + d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}]$
och $d e t (A) = a \times d - c \times d = \pm 1$ eftersom arean måste bevaras genom transformationen. Dock så har jag för många obekanta och jag vet inte hur jag ska fortsätta. Behöver tips på hur jag ska gå till väga. Antar att det är något med det andra villkoret jag ska rodda med?
Tack på förhand!

Edit: menar förstås multiplikation inte några kryssprodukter men det gick inte att skriva latex-kod manuellt av någon anledning.

4 obekanta och 3 ekvationer, då får du en fri parameter i lösningen. (och så har du +/- på determinanten)

Hmm, men hur ska jag ställa upp det? Ska jag lösa det som ett vanligt ekvationssystem?
Får ut mer än en parameter och är osäker på hur jag ställer upp en ekvation som a*d-b*c=1 i ett system som kan gaussas.

Du kan inte gaussa det, då determinanten ger en ickelinjär ekvation. Du får lösa på "vanligt" sätt med substitution.

Tyckte väl det, ska jag då alltså uttrycka alla variabler i form av en av variablerna? Är lite osäker på hur jag får det på parameterform nämligen.

Gjorde följande:

$a + b = 4 \leftrightarrow b = 4 - a (1) c + d = 3 \leftrightarrow d = 3 - c (2) a \cdot d - b \cdot c = 1 (3) (2), (1) i (3) : \to a \cdot (3 - c) - (4 - a) \cdot c = 1 \leftrightarrow a = \frac{1 + 4 c}{3}$

Men ska c-variabeln i min matris bara uttryckas c då exempelvis? Tror jag missförstått något grundligt som jag borde kunna.

a, b, c och d kan nu uttryckas i a. Sätt a = t om du vill.

Satte a=t och ställde upp sambanden i matrisen, men i facit så har de fått en helt annan matris (när determinanten är positiv.)

Denna får jag:

$[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} t & 4 - t \\ \frac{3 t - 1}{4} & \frac{13 - 3 t}{4} \end{matrix}]$

Medan matrisen i facit blir:

$[\begin{matrix} 1 + 4 t & 3 - 4 t \\ 1 + 3 t & 2 - 3 t \end{matrix}]$

Förstår verkligen inte hur jag ska bära mig åt för att få resultatet i facit eller är båda uppställningarna lika korrekta?

Din lösning har determinanten +1, facitlösningen har -1. Båda är rätt.

Jaha okej, tack så jättemycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar